[论文解读] Variational Principle of Hydrodynamics and Quantization by Stochastic Process

T. Kodama, T. Koide|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Reservoir Engineering and Simulation Methods参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文通过最大熵统一过去与未来布朗运动的随机变分原理，重新表述了量子力学的流体动力学形式，使量子涨落自然涌现。由此导出的流体作用量可导出薛定谔方程，并通过诺特定理自然推广至标量场的算符形式化，实现一致的算符形式体系。

ABSTRACT

The well-known hydrodynamical representation of the Schrödinger equation is reformulated by extending the idea of Nelson-Yasue's stochastic variational method. The fluid flow is composed by the two stochastic processes from the past and the future, which are unified naturally by the principle of maximum entropy. We show that this formulation is easily applicable to the quantization of scalar fields.

研究动机与目标

• 基于Nelson-Yasue框架，通过随机变分原理重新表述薛定谔方程的流体动力学形式。
• 通过最大熵原理统一量子动力学中的前向与后向随机过程。
• 构造一种包含量子修正的流体作用量，其形式可重现标准量子力学作用量并导出薛定谔方程。
• 将该形式体系推广至函数空间中的标量场量子化，保持与正则量子化的一致性。
• 通过诺特定理在波泛函表示中建立算符与本征态的基础。

提出的方法

• 引入两个独立的布朗运动——前向与后向——由与普适常数κ相关的噪声强度控制的随机过程所支配。
• 应用最大熵原理统一前向与后向随机流，确保与初始和最终概率分布的一致性。
• 基于具有内能项（代表量子修正）的经典理想流体构造流体作用量。
• 将作用量表示为复波泛函ψ[ϕ] = √ρ e^{iλ}，使其转化为标准形式的泛函薛定谔作用量。
• 通过对泛函密度ρ[ϕ]与相位λ[ϕ]变分作用量，推导出泛函薛定谔方程。
• 利用诺特定理在波泛函表示中定义动量与哈密顿算符，确保与标准量子力学的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过具有最大熵的随机变分原理，从流体动力学形式推导出量子力学？
• RQ2 过去与未来的随机过程在定义一致的量子动力学中起什么作用？
• RQ3 在流体作用量中引入内能项如何导致薛定谔方程的出现？
• RQ4 该形式体系能否在函数空间中一致地推广至标量场的量子化？
• RQ5 如何在此变分框架中利用诺特定理推导出标准量子算符与本征态？

主要发现

• 具有最大熵的随机变分原理统一了前向与后向布朗运动，形成一致的量子动力学框架。
• 包含量子修正作为内能的流体作用量，在适当的变量变换下可重现标准薛定谔方程。
• 泛函薛定谔方程作为场构型空间中作用量的欧拉-拉格朗日方程被导出。
• 波泛函Ψ[ϕ] = √ρ e^{iλ}为通过诺特定理定义算符与本征态提供了自然基底。
• 对于标量场，噪声强度由κc = ħc唯一确定，暗示量子涨落与时空结构之间存在深层联系。
• 由于函数空间中流场的无旋性，该形式体系自然处理场的量子化，即使在多值相位构型下也无需额外约束。