[论文解读] Variational principles and finite element Bloch analysis in couple stress elastodynamics

Nicolás Guarín‐Zapata, Juan Gómez+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2021

Acoustic Wave Phenomena Research参考文献 55被引用 7

一句话总结

本文提出了一种用于周期性固体（声子晶体）中耦合应力弹性动力学的变分有限元框架，采用带拉格朗日乘子的扩展布洛赫周期性公式处理高阶导数。研究发现，微极效应引起强烈的波频散，并在微结构尺寸与材料长度尺度 ℓ 匹配时，使多孔材料中产生可调谐禁带。

ABSTRACT

We address the numerical simulation of periodic solids (phononic crystals) within the framework of couple stress elasticity. The additional terms in the elastic potential energy lead to dispersive behavior in shear waves, even in the absence of material periodicity. To study the bulk waves in these materials, we establish an action principle in the frequency domain and present a finite element formulation for the wave propagation problem related to couple stress theory subject to an extended set of Bloch-periodic boundary conditions. A major difference from the traditional finite element formulation for phononic crystals is the appearance of higher-order derivatives. We solve this problem with the use of a Lagrange-multiplier approach. After presenting the variational principle and general finite element treatment, we particularize it to the problem of finding dispersion relations in elastic bodies with periodic material properties. The resulting implementation is used to determine the dispersion curves for homogeneous and porous couple stress solids, in which the latter is found to exhibit an interesting bandgap structure.

研究动机与目标

• 在频域中为一致耦合应力理论（C-CST）发展变分原理。
• 将有限元方法扩展以处理C-CST中基于曲率运动学产生的高阶导数。
• 引入包含力/牵引力和力偶牵引力/转角约束的扩展布洛赫周期性边界条件。
• 实现对具有微极效应的周期性多孔材料中色散关系的精确计算。
• 研究由于剪切波频散而在多孔耦合应力固体中出现禁带的机制。

提出的方法

• 针对C-CST中频域的简化波动方程，提出静止相关作用原理。
• 采用带拉格朗日乘子的混合有限元格式，以强制满足二阶导数所需的C1连续性。
• 实现包含位移、转角、牵引力和力偶牵引力自由度的扩展布洛赫边界条件。
• 求解得到的与波数相关的广义特征值问题以获得色散关系。
• 使用Voigt记法和带显式形函数导数的等参数单元，实现一致插值。
• 通过在均质和多孔单元胞元上的收敛性分析，验证了该方法在网格细化过程中的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将变分原理扩展至具有高阶导数的耦合应力弹性动力学？
• RQ2 微极效应对周期性材料中波频散和禁带形成有何影响？
• RQ3 基于拉格朗日乘子的有限元方法能否准确捕捉多孔多孔固体中的频散剪切波？
• RQ4 本征长度尺度 ℓ 如何影响多孔耦合应力材料中禁带的形成？
• RQ5 转动自由度和力偶应力在声子晶体布洛赫分析中起什么作用？

主要发现

• 采用拉格朗日乘子的有限元实现成功捕捉了均质胞元中的非频散P波和频散SV波，验证了方法的准确性。
• 收敛性分析显示达到最优收敛率，验证了该方法通过拉格朗日乘子方法实现C1连续性的能力。
• 对于具有圆形孔洞的多孔胞元，当微结构长度尺度 ℓ 与孔径相当时，出现显著的禁带结构。
• 当 ℓ/a ≈ 1 时，禁带在P波与SV波分支交汇处形成，这是由于频散SV波与非频散P波的群速度匹配所致。
• 禁带宽度随孔隙率增加而增大，并可调节至在低非维频率 Ω 处实现完全禁带。
• 结果表明，微极效应——特别是长度尺度 ℓ——实现了经典弹性理论无法预测的尺寸依赖波控制。