[论文解读] Variational principles for amenable metric mean dimensions

Ercai Chen, Dou Dou+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Advanced Topology and Set Theory被引用 4

一句话总结

本文建立了度量均维数与率失真函数之间的变分原理，适用于可数无限阿贝尔群作用，将Lindenstrauss与Tsukamoto关于ℤ-作用的结果推广至一般阿贝尔群。通过利用有限铺砌性质与Følner序列，证明了上、下度量均维数分别等于在不变测度上对$L^p$与$L^\infty$率失真函数的归一化上确界取上极限/下极限，将经典变分原理推广至无限熵动力系统。

ABSTRACT

In this paper, we prove variational principles between metric mean dimension and rate distortion function for countable discrete amenable group actions which extend recently results by Lindenstrauss and Tsukamoto.

研究动机与目标

• 将Lindenstrauss与Tsukamoto关于度量均维数的变分原理从$Ζ$-作用推广至可数无限阿贝尔群作用。
• 在阿贝尔群动力系统的背景下，建立度量均维数与率失真函数之间的联系。
• 通过利用阿贝尔群的有限铺砌结果，克服构造不变测度的技术难题。
• 证明度量均维数等于在所有不变测度上率失真函数上确界的渐近增长速率。

提出的方法

• 利用Downarowicz等人提出的有限铺砌结果，为阿贝尔群构造特定的Følner序列。
• 将Misiurewicz方法适配至通过率失真函数的度量均维数。
• 采用互信息与熵估计技术，关联测度论不变量与拓扑不变量。
• 利用Følner序列上推进测度的弱*收敛性，推导出极限表达式。
• 应用数据处理不等式与熵界，控制极限中互信息的大小。
• 通过分析在归一化群作用下率失真函数的渐近行为，建立变分原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将度量均维数的变分原理从$Ζ$-作用推广至一般可数无限阿贝尔群作用？
• RQ2 在阿贝尔群作用下，度量均维数是否等于在所有不变测度上对$L^p$与$L^\infty$率失真函数的归一化上确界的上极限/下极限？
• RQ3 如何在阿贝尔群作用中沿Følner序列构造不变测度，以关联拓扑量与测度论量？
• RQ4 有限铺砌与准铺砌在将变分原理推广至阿贝尔群中起到何种作用？
• RQ5 率失真函数是否在阿贝尔群设定下完整捕捉了度量均维数的复杂性？

主要发现

• 在阿贝尔群作用下，动力系统的上、下度量均维数分别等于在所有不变测度上对$L^p$率失真函数的归一化上确界的上极限与下极限。
• 当$p>1$时，变分原理成立：$\overline{\rm{mdim}}_M(\mathcal{X},d) = \limsup_{\varepsilon\to 0} \frac{\sup_{\mu\in M(\mathcal{X},T)} R_{\mu,p}(\varepsilon)}{|\log \varepsilon|}$。
• $L^\infty$变分原理可推广至阿贝尔群：$\underline{\rm{mdim}}_M(\mathcal{X},d) = \liminf_{\varepsilon\to 0} \frac{\sup_{\mu\in M(\mathcal{X},T)} R_{\mu,\infty}(\varepsilon)}{|\log \varepsilon|}$。
• 证明依赖于阿贝尔群的有限铺砌结果，以构造支持必要测度逼近的Følner序列。
• 作者通过互信息与熵估计建立了率失真函数的下界，表明在极限下有$R_{\mu,\infty}(\varepsilon) \geq S(\mathcal{X},G,d,12\varepsilon)$。
• 通过令$\alpha \to 0$，将不等式$R_{\mu,\infty}(\varepsilon) \geq S(\mathcal{X},G,d,12\varepsilon)$加强，以在渐近情形下证明等式成立。