[论文解读] Variational Principles for immersed Surfaces with $L^2$-bounded Second Fundamental Form

Tristan Rivière|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文为 R^m 中第二基本形式 L² 有界的浸入曲面建立了变分框架，通过共形结构实现规范固定以克服微分同胚不变性。证明了在任意给定共形类中存在实现该类的 Willmore 最小化分支浸入，且此类极小化子要么是光滑共形 Willmore 浸入，要么是全局共形等温浸入，当能量小于 8π 时无分支点。

ABSTRACT

In this work we present new fundamental tools for studying the variations of the Willmore functional of immersed surfaces into $R^m$. This approach gives for instance a new proof of the existence of a Willmore minimizing embedding of an arbitrary closed surface in arbitrary codimension. We explain how the same approach can solve constraint minimization problems for the Willmore functional. We show in particular that, for a given closed surface and a given conformal class for this surface, there is an immersion in $R^m$, away possibly from isolated branched points, which minimizes the Willmore energy among all possible Lipschitz immersions in $R^m$ having an $L^2-$bounded second fundamental form and realizing this conformal class. This branched immersion is either a smooth Conformal Willmore branched immersion or an isothermic branched immersion. We show that branched points do not exist whenever the minimal energy in the conformal class is less than $8π$ and that these immersions extend to smooth conformal Willmore embeddings or global isothermic embeddings of the surface in that case. Finally, as a by-product of our analysis, we establish that inside a compact subspace of the moduli space the following holds : weak limit of Palais Smale Willmore sequences are Conformal Willmore, that weak limits of Palais Smale sequences of Conformal Willmore are either Conformal Willmore or Global Isothermic and finally we observe also that weakly converging Palais Smale sequences of Global Isothermic Immersions are Global Isothermic. The analysis developped along the paper - in particular these last results - opens the door to the possibility of constructing new critical saddle points of the Willmore functional without or with constraints using min max methods

研究动机与目标

• 为 R^m 中第二基本形式 L² 有界的浸入曲面的 Willmore 泛函建立稳健的变分框架。
• 通过规范结构的 Coulomb 规范条件固定共形结构，以克服微分同胚不变性带来的规范退化。
• 证明在任意给定共形类中存在 Willmore 最小化浸入，即使存在分支点。
• 表征极小化子的正则性：分支浸入要么是共形 Willmore 浸入，要么是全局共形等温浸入，当能量 < 8π 时无分支点。
• 在模空间中建立 Palais-Smale 序列的紧致性与弱极限性质，从而实现新临界点的极小极大构造。

提出的方法

• 通过将浸入与共形微分同胚复合，引入规范固定程序，使框架场满足 Coulomb 条件。
• 利用 Willmore 泛函的共形不变性及恒等式 E(Φ) = ∫|dn|² dvol_g，将问题重述为 Gauss 映射的 Dirichlet 能量。
• 应用 Wente 定理与 Poincaré 引理，从 Gauss 映射及其导数的 L² 控制中恢复全纯结构。
• 利用黎曼映射定理与拟共形估计控制共形因子，并证明浸入的 Hölder 正则性。
• 应用 De Giorgi-Nash 理论，在第二基本形式的 L² 有界条件下建立对数共形因子的 Hölder 连续性。
• 应用全纯映射的点可移除定理，证明 W^{2,2} 共形浸入中的奇点是孤立的且为有限阶。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在任意共形类约束下证明闭曲面在 R^m 中存在 Willmore 最小化浸入？
• RQ2 在 L² 有界的 Willmore 极小化子中，分支点的性质是什么？它们在何时消失？
• RQ3 Palais-Smale 序列在共形结构模空间中的弱极限行为如何？
• RQ4 该变分框架能否扩展至通过极小极大方法构造 Willmore 泛函的新临界点？
• RQ5 W^{2,2} 共形浸入在孤立分支点附近的导数的精确渐近行为是什么？

主要发现

• 对任意闭曲面 Σ 及其上的任意共形类，存在一个 Lipschitz 浸入到 R^m 中，其第二基本形式 L² 有界，并最小化 Willmore 能量。
• 极小化子要么是光滑共形 Willmore 分支浸入，要么是全局共形等温分支浸入。
• 当某共形类中的最小能量小于 8π 时，极小化子无分支点，且可延拓为光滑共形 Willmore 嵌入。
• Willmore 泛函的 Palais-Smale 序列的弱极限是共形 Willmore 浸入。
• 共形 Willmore 浸入的 Palais-Smale 序列的弱极限要么是共形 Willmore 浸入，要么是全局共形等温浸入。
• 全局共形等温浸入的 Palais-Smale 序列的弱极限是全局共形等温浸入，从而可实现新临界点的极小极大构造。