[论文解读] Variational principles for topological entropies of subsets

De‐Jun Feng, Wen Huang|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文建立了拓扑动力系统中子集的Bowen熵与填充拓扑熵之间的变分原理，将其与不变与非不变测度的度量熵联系起来。结果表明，对于任意非空紧致子集 $K$，Bowen熵 $h_{\rm top}^{B}(T,K)$ 等于所有满足 $\mu(K)=1$ 的Borel概率测度 $\mu$ 的下度量熵 $\underline{h}_{\mu}(T)$ 的上确界；类似地，对填充熵使用上熵。在较弱条件下，该结果可推广至解析集。

ABSTRACT

Let $(X,T)$ be a topological dynamical system. We define the measure-theoretical lower and upper entropies $\underline{h}_μ(T)$, $\bar{h}_μ(T)$ for any $μ\in M(X)$, where $M(X)$ denotes the collection of all Borel probability measures on $X$. For any non-empty compact subset $K$ of $X$, we show that $$\htop^B(T, K)= \sup \{\underline{h}_μ(T): μ\in M(X),\; μ(K)=1\}, $$ $$\htop^P(T, K)= \sup \{\bar{h}_μ(T): μ\in M(X),\; μ(K)=1\}. $$ where $\htop^B(T, K)$ denotes Bowen's topological entropy of $K$, and $\htop^P(T, K)$ the packing topological entropy of $K$. Furthermore, when $\htop(T)

研究动机与目标

• 将经典的拓扑熵变分原理推广至拓扑动力系统中非不变的紧致与解析子集。
• 为任意Borel概率测度 $\mu \in M(X)$（不一定是 $T$-不变的）定义并分析度量熵的下界 $\underline{h}_{\mu}(T)$ 与上界 $\overline{h}_{\mu}(T)$。
• 为紧致与解析子集 $K \subset X$ 的Bowen拓扑熵 $h_{\rm top}^{B}(T,K)$ 与填充拓扑熵 $h_{\rm top}^{P}(T,K)$ 建立变分原理。
• 研究拓扑熵在解析集上的行为，证明解析集的熵等于其所有紧致子集熵的上确界。
• 通过将关注点从 $T$-不变测度转向 $M(X)$ 中的一般测度，解决非不变集导致 $h_{\rm top}^{B}(T,K) > 0$ 但所有 $T$-不变测度 $\mu$ 满足 $\mu(K) = 0$ 的挑战。

提出的方法

• 通过点态熵 $\underline{h}_{\mu}(T,x)$ 与 $\overline{h}_{\mu}(T,x)$ 定义度量熵的下界 $\underline{h}_{\mu}(T)$ 与上界 $\overline{h}_{\mu}(T)$，基于在Bowen度量 $d_n$ 下 $n$-球邻域测度的渐近衰减速率。
• 使用Bowen度量 $d_n(x,y) = \max_{0 \leq k < n} d(T^k x, T^k y)$ 定义集合 $K$ 的熵，通过 $d_n$-度量下 $\epsilon$-球的覆盖与填充。
• 对紧致 $K$，通过在嵌套紧致集 $K_i$ 上支持的测度 $\mu_i$ 的递归构造，证明 $h_{\rm top}^{B}(T,K) = \sup \{ \underline{h}_{\mu}(T) : \mu \in M(X), \mu(K) = 1 \}$，并控制熵的衰减。
• 证明存在一个弱*极限测度 $\tilde{\mu}$，其支撑于紧致子集 $K \subset Z$（$Z$ 为解析集），并证明对归一化测度 $\mu = \tilde{\mu}/\tilde{\mu}(K)$，有 $\overline{h}_{\mu}(T) \geq s$。
• 利用Cantor对角论证与嵌套紧致集，证明对解析集 $Z$，拓扑熵 $h_{\rm top}^{B}(T,Z)$ 是所有紧致子集 $K \subset Z$ 的 $h_{\rm top}^{B}(T,K)$ 的上确界。
• 利用 $\prod_{n=1}^\infty (1 + 2^{-n}) < \infty$ 控制尺度间的测度畸变，确保熵估计 $\mu_i(F_i) \leq C \mu_j(F_i)$（$j > i$）中存在统一常数 $C$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非不变紧致集 $K$ 的Bowen拓扑熵 $h_{\rm top}^{B}(T,K)$ 建立基于一般Borel概率测度 $\mu$（满足 $\mu(K)=1$）的度量熵的变分原理？
• RQ2 当使用上度量熵 $\overline{h}_{\mu}(T)$ 时，填充拓扑熵 $h_{\rm top}^{P}(T,K)$ 的变分原理是否对紧致集 $K$ 成立？
• RQ3 当 $h_{\rm top}(T) < \infty$ 时，能否将 $h_{\rm top}^{B}(T,Z)$ 的变分原理从紧致集推广至 $X$ 的解析子集 $Z$？
• RQ4 解析集 $Z$ 的拓扑熵是否等于其所有紧致子集熵的上确界？
• RQ5 在 $T$-不变测度对 $Z$ 赋零测度时，解析性在将变分原理推广至非紧致 $T$-不变集方面起什么作用？

主要发现

• 对任意非空紧致子集 $K \subset X$，有 $h_{\rm top}^{B}(T,K) = \sup \{ \underline{h}_{\mu}(T) : \mu \in M(X), \mu(K) = 1 \}$，这通过下度量熵建立了变分原理。
• 对任意解析子集 $Z \subset X$，有 $h_{\rm top}^{P}(T,Z) = \sup \{ h_{\rm top}^{P}(T,K) : K \subset Z \text{ 为紧致子集} \}$，表明解析集的熵由其紧致子集决定。
• 当 $h_{\rm top}(T) < \infty$ 时，Bowen熵的变分原理可推广至解析集：$h_{\rm top}^{B}(T,Z) = \sup \{ \underline{h}_{\mu}(T) : \mu \in M(X), \mu(Z) = 1 \}$，即使 $Z$ 不是 $T$-不变的。
• 上度量熵 $\overline{h}_{\mu}(T)$ 满足 $\overline{h}_{\mu}(T) \geq s$，其中 $s$ 为集合 $Z$ 的熵，对构造的支撑于紧致子集 $K \subset Z$ 的测度 $\mu$ 成立，证明了存在测度可实现熵的上确界。
• 通过构造满足衰减速率 $\mu_i(\overline{B}(x,\gamma_i)) \sim e^{-m_i(x)s}$ 且统一畸变界 $C = \prod_{n=1}^\infty (1 + 2^{-n}) < \infty$ 的测度序列 $\mu_i$，确保弱*极限测度 $\tilde{\mu}$ 存在，且 $\tilde{\mu}(K) \in [1, 2C]$。
• 对任意 $z \in K$，存在序列 $k_i \to \infty$ 使得 $\mu(B_{k_i}(z,\epsilon)) \leq C e^{-k_i s} / \tilde{\mu}(K)$，由此推出 $\overline{h}_{\mu}(T) \geq s$，从而证明了填充熵的变分原理。