[论文解读] Variational problems of nonlinear elasticity theory in certain classes of mappings with finite distortion

Anastasia Molchanova, S. K. Vodopyanov|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2015

Elasticity and Material Modeling参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文通过引入一类新的容许变形——属于 $ W^1_n(\Omega) $ 的映射，其变形张量具有有限形变且其形变特征函数 $ M(x) \in L_s(\Omega) $，$ s > n-1 $，建立了非线性弹性变分问题中极小化元的存在性。在存储能函数满足多凸性与强制性条件下，作者利用补偿紧致性与 Mazur 引理，证明了能量泛函的弱下半连续性及解的存在性，将 Ball 的框架推广至更宽松的可积性与增长条件。

ABSTRACT

We study the problem of minimizing the functional $$ I(φ)=\int\limits_Ω W(x,Dφ)\,dx $$ on a new class of mappings. We relax summability conditions for admissible deformations to $φ\in W^1_n(Ω)$ and growth conditions on the integrand $W(x,F)$. To compensate for that, we impose the finite distortion condition and the condition $\frac{|Dφ(x)|^n}{J(x,φ)} \leq M(x) \in L_{s}(Ω)$, $s>n-1$, on the characteristic of distortion. On assuming that the integrand $W(x,F)$ is polyconvex and coercive, we obtain an~existence theorem for the problem of minimizing the functional $I(φ)$ on a new family of admissible deformations. KEYWORDS: functional minimization problem, nonlinear elasticity, mapping with finite distortion, polyconvexity.

研究动机与目标

• 将非线性弹性中极小化元的存在性理论从经典的 $ W^{1,p} $ 空间（$ p > n $）推广至更广范围。
• 放松对存储能函数与形变梯度的强制性与可积性条件。
• 将有限形变条件与形变特征函数 $ M(x) \in L_s(\Omega) $，$ s > n-1 $ 的可积性作为更强可积性假设的替代。
• 在包含可能具有奇异雅可比行列式但受控形变的映射的新容许变形类中，证明极小化元的存在性。
• 通过多凸性与紧致性论证，在这些弱化条件下建立能量泛函的弱下半连续性。

提出的方法

• 定义一类新的容许变形 $ \mathcal{A} $，其由满足有限形变且 $ \frac{|D\varphi(x)|^n}{J(x,\varphi)} \leq M(x) \in L_s(\Omega) $，$ s > n-1 $ 的映射 $ \varphi \in W^1_n(\Omega) $ 构成。
• 要求存储能函数 $ W(x,F) $ 具有多凸性，确保其可表示为 $ F $、$ \operatorname{Adj}F $ 与 $ \det F $ 的凸函数。
• 以如下形式施加强制性：$ W(x,F) \geq \alpha(\|F\|^p + \|\operatorname{Adj}F\|^q + (\det F)^r) + g(x) $，其中 $ p > n-1 $，$ q \geq p/(p-1) $，$ r > 1 $，且 $ g \in L_1(\Omega) $。
• 应用 Mazur 引理由极小化映射序列中提取子列，使其凸组合在 $ W^1_n \times L_{n/(n-1)} \times L_r $ 中弱收敛。
• 利用 Fatou 引理与表示函数 $ G $ 的凸性，证明能量泛函的序列弱下半连续性。
• 通过形变控制与单射性论证，证明极限映射 $ \varphi_0 $ 几乎处处满足 $ J(x,\varphi_0) > 0 $，且在边界条件下为同胚映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存储能函数的可积性与增长条件更弱的条件下，非线性弹性中极小化元的存在性是否仍可建立？
• RQ2 有限形变条件结合 $ M(x) \in L_s(\Omega) $，$ s > n-1 $，是否足以控制雅可比行列式并确保解的存在性？
• RQ3 多凸性与强制性是否可用于在此广义设定下证明能量泛函的弱下半连续性？
• RQ4 当边界数据为同胚映射时，即使强制性条件被放松，解映射是否仍为同胚？
• RQ5 Ball 的经典存在性框架能否推广至 $ W^1_n(\Omega) $ 中的映射，而无需要求 $ p > n $？

主要发现

• 在 $ W $ 满足多凸性与强制性条件下，即使 $ p = n $，泛函 $ I(\varphi) = \int_\Omega W(x,D\varphi)\,dx $ 的极小化元 $ \varphi_0 \in \mathcal{A} $ 的存在性得以确立。
• 形变特征函数 $ \frac{|D\varphi|^n}{J(x,\varphi)} \leq M(x) \in L_s(\Omega) $ 且 $ s > n-1 $ 取代了对 $ D\varphi $ 的更强可积性假设，使得 $ W^1_n $-映射得以使用。
• 通过 Fatou 引理与表示函数 $ G $ 的凸性，证明了能量泛函的弱下半连续性，确保 $ I(\varphi_0) \leq \varliminf_{k\to\infty} I(\varphi_k) $。
• 极限映射 $ \varphi_0 $ 几乎处处满足 $ J(x,\varphi_0) > 0 $ 在 $ \Omega $ 中，且在边界条件为同胚映射时，$ \varphi_0 $ 本身为同胚映射。
• 该结果适用于 Ogden 型材料，其中 $ W_1(F) $ 满足 $ W_1(F) \geq \alpha\|F\|^p + \|\operatorname{Adj}F\|^q + c(\det F)^r + d(\det F)^{-s} $，即使 $ p = n $ 亦成立。
• 该框架将 Ball 的存在性理论扩展至无需要求 $ W(F) \to \infty $ 当 $ \det F \to 0_+ $ 的情形，表明在新的形变控制下，解的存在性依然成立。