[论文解读] Variational Quantum Continuous Optimization: a Cornerstone of Quantum Mathematical Analysis

Pablo Bermejo, Román Orús|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种变分量子算法，通过Bloch球参数（两个角度和一个半径）在每个量子比特上编码最多三个连续变量，使NISQ设备能够直接对连续域函数进行模拟优化。该方法仅使用127个量子比特即可处理381维函数，实现对复杂数学任务（如傅里叶分析、多维积分和微分方程）的高保真求解，模拟结果显示相对误差低于10⁻⁴，耗时仅数分钟。

ABSTRACT

Here we show how universal quantum computers based on the quantum circuit model can handle mathematical analysis calculations for functions with continuous domains, without any digitalization, and with remarkably few qubits. The basic building block of our approach is a variational quantum circuit where each qubit encodes up to three continuous variables (two angles and one radious in the Bloch sphere). By combining this encoding with quantum state tomography, a variational quantum circuit of $n$ qubits can optimize functions of up to $3n$ continuous variables in an analog way. We then explain how this quantum algorithm for continuous optimization is at the basis of a whole toolbox for mathematical analysis on quantum computers. For instance, we show how to use it to compute arbitrary series expansions such as, e.g., Fourier (harmonic) decompositions. In turn, Fourier analysis allows us to implement essentially any task related to function calculus, including the evaluation of multidimensional definite integrals, solving (systems of) differential equations, and more. To prove the validity of our approach, we provide benchmarking calculations for many of these use-cases implemented on a quantum computer simulator. The advantages with respect to classical algorithms for mathematical analysis, as well as perspectives and possible extensions, are also discussed.

研究动机与目标

• 开发一种适用于近期量子计算机的连续数学分析实用量子算法。
• 克服现有量子算法在处理连续函数时数字离散化的局限性。
• 证明NISQ设备无需数字化即可执行复杂微积分任务（如求解微分方程）。
• 建立基于连续变量优化的数学分析量子工具箱。
• 通过经典模拟验证该方法在高维问题上的快速、稳定性能。

提出的方法

• 每个量子比特通过Bloch球的两个角度（θ, φ）和半径（r）编码最多三个连续变量，实现对连续函数参数的模拟表示。
• 利用量子态层析技术优化变分量子线路，提取使函数最小化或最大化所需的最优参数。
• 将连续优化作为基础，通过量子优化求解展开系数，实现任意级数展开（特别是傅里叶级数）的计算。
• 通过变分优化计算傅里叶系数，进而支持后续任务如积分、微分和求解微分方程。
• 通过引入拉格朗日乘子，将微分方程组、偏微分方程和积分微分方程统一为带约束的优化问题，实现方法推广。
• 使用经典模拟对算法进行基准测试，展示在14个量子比特处理最多28个连续变量的问题时，具有快速收敛和高精度的性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有连续参数编码的变分量子线路是否能在无需数字离散化的情况下实现高维连续优化？
• RQ2 在NISQ设备上，量子优化对任意函数的傅里叶级数系数计算精度如何？
• RQ3 该连续优化框架能否扩展至求解微分方程组和多维积分问题？
• RQ4 该方法在经典模拟中对高维问题的性能与可扩展性如何？
• RQ5 该方法能否在当前含噪声的量子硬件上展示数学分析任务的实际量子优势？

主要发现

• 在使用8个量子比特、11个模式和80个网格点求解[1,2]区间上的非线性微分方程时，算法的相对误差约为10⁻⁴。
• 对于耦合微分方程组，使用12个量子比特、7个模式和60个网格点，误差范围为10⁻¹至10⁻²，结果在数分钟内完成计算。
• 经典模拟显示，该算法仅用14个量子比特即可在数秒内优化最多28个连续变量的函数。
• 该方法可实现多维定积分和傅里叶展开的直接模拟计算，无需数字离散化。
• 127量子比特的量子处理器（如IBM-Q System One）可利用该框架对381维连续函数执行数学分析。
• 该算法的启发式特性使其对噪声具有较强鲁棒性，提升了其在近期NISQ设备上的可行性。