[论文解读] Variational Quantum Eigensolver with Constraints (VQEC): Solving Constrained Optimization Problems via VQE

Thinh Viet Le, Vassilis Kekatos|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

该论文提出VQEC，一种混合量子-经典算法，通过联合优化原始量子电路参数与对偶拉格朗日乘子，将变分量子特征值求解器（VQE）扩展至处理约束优化问题。该方法采用扰动原始-对偶方法，在NISQ设备上对QCBO、随机二值策略及大规模单纯形上的线性规划问题实现了高质量解，数值结果表明使用重复参数化电路可提升收敛速度与解的质量。

ABSTRACT

Variational quantum approaches have shown great promise in finding near-optimal solutions to computationally challenging tasks. Nonetheless, enforcing constraints in a disciplined fashion has been largely unexplored. To address this gap, this work proposes a hybrid quantum-classical algorithmic paradigm termed VQEC that extends the celebrated VQE to handle optimization with constraints. As with the standard VQE, the vector of optimization variables is captured by the state of a variational quantum circuit (VQC). To deal with constraints, VQEC optimizes a Lagrangian function classically over both the VQC parameters as well as the dual variables associated with constraints. To comply with the quantum setup, variables are updated via a perturbed primal-dual method leveraging the parameter shift rule. Among a wide gamut of potential applications, we showcase how VQEC can approximately solve quadratically-constrained binary optimization (QCBO) problems, find stochastic binary policies satisfying quadratic constraints on the average and in probability, and solve large-scale linear programs (LP) over the probability simplex. Under an assumption on the error for the VQC to approximate an arbitrary probability mass function (PMF), we provide bounds on the optimality gap attained by a VQC. Numerical tests on a quantum simulator investigate the effect of various parameters and corroborate that VQEC can generate high-quality solutions.

研究动机与目标

• 为解决变分量子算法中缺乏系统性约束强制的问题，特别是针对NISQ时代量子硬件的挑战。
• 提出一种基于拉格朗日对偶性与原始-对偶优化的系统方法，将约束整合进VQE。
• 使能求解如二次约束二值优化（QCBO）、随机策略设计及概率单纯形上的大规模线性规划等约束问题。
• 在VQC近似误差假设下，分析变分量子解与真实最优解之间的性能差距。
• 通过在IBM模拟器上进行量子模拟，评估该算法的鲁棒性与收敛性，涵盖多种问题类别。

提出的方法

• VQEC使用拉格朗日函数将目标函数与约束通过对偶变量结合，形式化约束优化问题。
• 采用扰动原始-对偶（PPD）方法，在经典优化中同时更新变分量子电路（VQC）参数与对偶拉格朗日乘子。
• PPD方法在扰动点上更新原始与对偶变量，确保收敛性，且无需拉格朗日函数严格凸/凹。
• 通过参数移位法则进行梯度估计，同时测量代价与约束可观测量，以最小化开销。
• 支持VQC的重复参数化（L > 1），以增强表达能力与解的质量。
• 该算法应用于对角可观测量问题，包括QCBO、机会约束二值策略及概率单纯形上的大规模线性规划。

实验结果

研究问题

• RQ1 混合量子-经典算法是否能在不依赖惩罚方法的前提下，有效强制变分量子优化中的约束？
• RQ2 与标准原始-对偶或基于惩罚的方法相比，扰动原始-对偶方法在约束VQE中如何提升收敛性与解的质量？
• RQ3 VQC的重复参数化在多大程度上提升了VQEC求解约束问题的解质量？
• RQ4 在VQC可于给定误差界内近似目标概率质量函数的假设下，VQEC解的最优性差距如何？
• RQ5 在量子模拟器上，VQEC在概率单纯形上的大规模线性规划问题中表现如何？

主要发现

• 当L=3时，VQEC在9个大规模LP实例中的8个上实现了低于20%的相对误差，显著优于L=1的情况。
• 与标准PD方法相比，扰动原始-对偶（PPD）方法在每次迭代仅多消耗一次测量样本的情况下，将相对误差降低了最多50%。
• VQEC成功生成了QCBO与随机QCBO问题的高质量解，包括在期望与概率意义下满足约束。
• 解的质量与收敛速度对VQC参数化敏感：参数过少或过多均会降低性能。
• 该方法在10个不同大规模LP实例上表现出鲁棒性，使用固定步长与模拟器种子，500次迭代后实现一致收敛。
• 理论分析表明，在假设3下，VQEC的最优性差距与VQC表示目标概率质量函数的近似误差成正比。