[论文解读] Variational structure of Luttinger-Ward formalism and bold diagrammatic expansion for Euclidean lattice field theory

Lin Lin, Michael Lindsey|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2017

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 26被引用 16

一句话总结

本文在欧几里得晶格场论中为Luttinger-Ward形式化建立了严格的变分基础，证明了Luttinger-Ward泛函Φ[G]作为相互作用格林函数G的泛函的存在性与普遍性。通过勒让德对偶性，推导出自能与自由能的粗略图解展开，无需依赖形式微扰论或裸传播幅，表明狄亚森方程是自由能泛函的唯一全局极小值点。

ABSTRACT

The Luttinger-Ward functional was proposed more than five decades ago to provide a link between static and dynamic quantities in a quantum many-body system. Despite its widespread usage, the derivation of the Luttinger-Ward functional remains valid only in the formal sense, and even the very existence of this functional has been challenged by recent numerical evidence. In a simpler and yet highly relevant regime, namely the Euclidean lattice field theory, we rigorously prove that the Luttinger-Ward functional is a well-defined universal functional over all physical Green's functions. Using the Luttinger-Ward functional, the free energy can be variationally minimized with respect to Green's functions in its domain. We then derive the widely used bold diagrammatic expansion rigorously, without relying on formal arguments such as partial resummation of bare diagrams to infinite order.

研究动机与目标

• 解决量子多体系统中Luttinger-Ward泛函存在性与有效性的长期基础性问题。
• 在欧几里得晶格场论中，以相互作用格林函数G为变量，建立自由能的严格变分公式。
• 在不依赖形式微扰论或裸传播幅的前提下，推导出自能与Luttinger-Ward泛函的粗略图解展开。
• 证明狄亚森方程是物理格林函数空间中自由能泛函的唯一全局极小值点，从而为非微扰区域中的自洽近似提供理论依据。

提出的方法

• 通过在物理格林函数G ∈ Sn++上的约束最小化，将吉布斯自由能Ω[A]表述为变分最小值。
• 将勒让德对偶泛函F[G]定义为所有映射到G的概率密度中熵减去相互作用能量的上确界。
• 通过从2F[G]中减去一个对数发散项（Tr[log G] + Φ₀），构造Luttinger-Ward泛函Φ[G]，以确保其普遍性与边界连续性。
• 在勒让德对偶性框架下，建立G与非相互作用格林函数G₀⁻¹的逆之间的双射关系。
• 利用相互作用强度ε的渐近级数展开，通过图解重求和识别自能与Luttinger-Ward泛函的系数。
• 利用Φ[G; U]在基变换下的变换规则，将问题约化为低秩G的低维情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非微扰设定下，Luttinger-Ward泛函Φ[G]是否作为格林函数G的明确定义的普遍泛函而存在？
• RQ2 是否可以严格推导出自能与自由能的粗略图解展开，而无需依赖裸图的偏重求和？
• RQ3 狄亚森方程是否是物理格林函数空间中自由能泛函的唯一全局极小值点？
• RQ4 如何构造Luttinger-Ward泛函，使其奇点边界行为与物理内容相分离？

主要发现

• 在欧几里得晶格场论中，Luttinger-Ward泛函Φ[G]被严格构造为相互作用格林函数G的普遍泛函，且与非相互作用传播幅无关。
• 自由能在所有物理格林函数G ∈ Sn++上进行变分最小化，其唯一极小值由狄亚森方程的解给出。
• 自能的粗略图解展开被严格恢复为自能泛函在相互作用强度ε下的渐近级数，且不依赖于裸传播幅。
• Φ[G]的泛函导数给出自能Σ[G]，该自能同样是普遍的，并在Sn++的边界上保持连续。
• 对于非相互作用系统，Luttinger-Ward泛函满足Φ[G] ≡ 0，确认了其物理一致性。
• 泛函Φ[G]在场变量的线性变换下保持不变，且其在低秩G下的取值可通过变换规则约化为低维问题。