[论文解读] Variational Theory of Mixtures in Continuum Mechanics

Henri Gouin|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2008

Phase Equilibria and Thermodynamics参考文献 23被引用 32

一句话总结

本文在拉格朗日框架下基于哈密顿原理，为互溶流体混合物建立了变分公式，将每一组分视为独立的连续体。该方法推导出热力学一致的运动方程和能量方程，无需人为引入相互作用项，从而通过依赖梯度的内能严格推导出界面层的表面张力，与安东诺夫规则一致。

ABSTRACT

In continuum mechanics, the equations of motion for mixtures are derived through the use of Hamilton's extended principle which regards the mixture as a collection of distinct continua. The internal energy is assumed to be a function of densities, entropies and successive spatial gradients of each constituent. We first write the equations of motion for each constituent of an inviscid miscible mixture of fluids without chemical reactions or diffusion. Our work leads to the equations of motion in an universal thermodynamic form in which interaction terms subject to constitutive laws, difficult to interpret physically, do not occur. For an internal energy function of densities, entropies and spatial gradients, an equation describing the barycentric motion of the constituents is obtained. The result is extended for dissipative mixtures and an equation of energy is obtained. A form of Clausius-Duhem's inequality which represents the second law of thermodynamics is deduced. In the particular case of compressible mixtures, the equations reproduce the classical results. Far from critical conditions, the interfaces between different phases in a mixture of fluids are layers with strong gradients of density and entropy. The surface tension of such interfaces is interpreted.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的变分框架，用于互溶流体混合物，无需依赖相互作用项的本构定律。
• 解决连续介质混合物理论中关于熵、温度及热力学第二定律的模糊性问题。
• 以普遍适用的热力学形式推导运动方程和能量方程，适用于保守和耗散混合物。
• 从内能梯度角度解释界面张力，特别是在共存相之间的薄界面层中。
• 推广可压缩混合物的经典结果，并在忽略梯度项时恢复已知行为。

提出的方法

• 将哈密顿扩展原理应用于每个组分的拉格朗日表示，使用各组分的参考构型。
• 假设内能依赖于密度、熵以及各组分密度和熵的连续空间梯度。
• 通过变分法推导运动方程，得到不依赖经验假设的相互作用项的热力学形式。
• 引入由内能泛函导出的应力张量，通过系数 $ C_i = 2 horac{eta_i}{ ho} $ 和 $ D = horac{eta_i}{ ho} $ 纳入梯度贡献。
• 采用一种分别对每个组分的运动进行变分的变分原理，从而推导出质心运动方程。
• 将该方法应用于等温与等熵极限，并通过一种形式的克劳修斯-杜亥姆不等式推广至耗散混合物。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不引入非物理相互作用项的前提下，将变分原理一致地应用于互溶流体混合物？
• RQ2 当每个组分具有独立的熵和密度时，混合物的正确热力学运动与能量表述是什么？
• RQ3 如何从依赖梯度的内能函数推导出流体界面的表面张力？
• RQ4 能否通过变分的、场论的方法恢复经典安东诺夫规则对界面张力的描述？
• RQ5 在内能中引入空间梯度如何导致对界面层的物理解释？

主要发现

• 该变分方法得出的运动方程以普遍热力学形式表达，避免了对相互作用力本构定律的需求。
• 对于平面界面，边缘单位长度上的线力为 $ H = H_1 + H_2 + H_{1.2} $，其中 $ H_1 $、$ H_2 $ 和 $ H_{1.2} $ 分别代表各相的表面张力及其相互作用张力。
• 界面张力 $ H $ 由内能中梯度项的积分导出，其中 $ H_1 = ho ho_1 rac{eta_1}{ ho_1} $，$ H_2 = ho ho_2 rac{eta_2}{ ho_2} $，$ H_{1.2} = 2D ho rac{eta_{12}}{ ho} $，与安东诺夫规则一致。
• 在本体相中，梯度为零时，应力张量退化为静水压力，其中 $ ho_1^2 rac{eta_1}{ ho_1} $ 和 $ ho_2^2 rac{eta_2}{ ho_2} $ 分别对应于各相的压力。
• 当忽略梯度项时，该方法可重现可压缩混合物的经典结果。
• 推导出的克劳修斯-杜亥姆不等式形式确保了耗散混合物中热力学第二定律的满足。