[论文解读] Variations around Eagleson's Theorem on mixing limit theorems for dynamical systems

Sébastien Gouëzel|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文将Eagleson定理推广至两个新场景：几乎必然极限定理与混合动力系统中的联合条件。对于遍历、非奇异映射，证明了在轨道上可耦合绝对连续测度，确保几乎必然极限定理在不变测度与绝对连续测度之间传递。对于混合系统，证明了当时间足够分离时，Birkhoff和的分布收敛性在同时对初始与最终位置进行条件化后仍保持不变。

ABSTRACT

Eagleson's Theorem asserts that, given a probability-preserving map, ifrenormalized Birkhoff sums of a function converge in distribution, thenthey also converge with respect to any probability measure which isabsolutely continuous with respect to the invariant one. We prove a versionof this result for almost sure limit theorems, extending results ofKorepanov. We also prove a version of this result, in mixing systems, whenone imposes a conditioning both at time 0 and at time n.

研究动机与目标

• 建立动力系统中绝对连续测度之间几乎必然极限定理的一般耦合原理。
• 弥合从不变测度到绝对连续测度扩展几乎必然不变性原理的空白，其中Eagleson定理不直接适用。
• 研究在混合系统中，当同时对时间0与时间n的状态进行条件化时，Birkhoff和的分布收敛性是否保持不变。
• 将Eagleson型收敛推广至时间分离的混合系统中的高阶条件。
• 为在物理系统中应用极限定理提供理论基础，其中参考测度（如Lebesgue测度）与不变测度不同。

提出的方法

• 通过转移算子与Yosida定理在L1收敛意义下，引入相对于σ-有限、非奇异、遍历测度µ的两个绝对连续概率测度之间的轨道耦合。
• 通过迭代应用耦合构造，逐步耦合密度重叠逐渐增加的测度，依赖于转移算子时间平均的L1收敛性。
• 对于混合系统，利用混合性质证明时间平均的可观测量ϕ1 ◦T^j与ϕ2 ◦T^{n+j}的乘积在L2中收敛于其积分的乘积。
• 通过引理2.3的伸缩论证，表明将可观测量ϕ1平移T不会影响g(Snf/Bn)ϕ2 ◦T^n的积分，原因在于|f ◦T^n - f|/Bn的衰减。
• 采用平均化技巧：将积分替换为k次平移的平均，再通过混合性下的L2范数估计进行有界，从而实现一致小量。
• 通过p阶混合性与p个可观测量时间平均乘积收敛于其积分乘积的性质，将结果推广至p重条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以将几乎必然极限定理（如几乎必然不变性原理）从不变测度传递到任意绝对连续测度？
• RQ2 在混合系统中，当同时对轨迹的初始与最终位置进行条件化时，归一化Birkhoff和的收敛性是否仍保持？
• RQ3 在何种条件下，对多个分离时间点的联合条件化可保持Birkhoff和的极限分布？
• RQ4 如何将经典的Eagleson定理推广至涉及多个条件点或几乎必然收敛的场景？
• RQ5 混合性质在多大程度上允许在极限定理中用边际乘积近似分离时间点上可观测量的联合分布？

主要发现

• 对于任意遍历、非奇异映射，以及任意两个关于σ-有限不变测度µ的绝对连续概率测度，存在轨道上的耦合，确保几乎必然极限定理在这些测度之间传递。
• 在假设f(T^n x) = o(r(n)) m-几乎必然成立下，Birkhoff和S_nf可在任意绝对连续测度m′下以速率r(n)与布朗运动耦合，从而扩展了几乎必然不变性原理。
• 在混合系统中，若Bn → ∞且ϕ1, ϕ2有界且属于L2，则归一化Birkhoff和Snf/Bn在测度mn(U) = ∫_U ϕ1(x)ϕ2(T^n x) dm(x)下收敛于Z的分布。
• 当ϕ2均值为零时，有∫ ϕ1 g(Snf/Bn) ϕ2 ◦T^n dm → (∫ϕ1)(∫ϕ2)E(g(Z))，其证明依赖于混合性下可观测量时间平均乘积的L2小量性质。
• 在p阶混合系统中，当所有时间间隔n_{i+1} - n_i → ∞时，联合积分∫ ∏ϕi ◦T^{n_i} g(Fn) dm收敛于∏(∫ϕi) E(g(Z))。
• 即使ϕ1与ϕ2不为非负，结果仍成立，方法为先减去其均值，并利用零均值情形已足够（由线性性与可分性论证）。