[论文解读] Variations on Prequantization

Alan Weinstein, Marco Zambon|ArXiv.org|Dec 27, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用 15

一句话总结

本文通过在主 $U(1)$-丛上定义相容的 Dirac-Jacobi 结构，将预量化的概念推广至 Dirac流形，使得 Poisson 代数在丛的截面上作用。该研究进一步将预量化推广至允许 $U(1)$-作用具有不动点的情形——特别是具有边界的流形——此时截面变为层值截面而非线丛的截面，从而在单一框架下统一了辛、泊松和预辛的预量化。

ABSTRACT

We extend known prequantization procedures for Poisson and presymplectic manifolds by defining the prequantization of a Dirac manifold P as a principal U(1)-bundle Q with a compatible Dirac-Jacobi structure. We study the action of Poisson algebras of admissible functions on P on various spaces of locally (with respect to P) defined functions on Q, via hamiltonian vector fields. Finally, guided by examples arising in complex analysis and contact geometry, we propose an extension of the notion of prequantization in which the action of U(1) on Q is permitted to have some fixed points.

研究动机与目标

• 通过在主 $U(1)$-丛上引入相容的 Dirac-Jacobi 结构，将预量化推广至 Dirac 流形，统一辛、泊松与预辛流形的预量化。
• 将标准预量化推广至允许 $U(1)$-作用具有不动点的情形——尤其在具有边界的流形上——此时截面变为层值截面而非线丛的全局截面。
• 通过用上同调或非交换结构替代全局极化截面，推广几何量化的概念，从而为 Poisson 代数提供新的表示。

提出的方法

• 将 Dirac 流形 $P$ 的预量化定义为配备相容 Dirac-Jacobi 结构的主 $U(1)$-丛 $Q$。
• 通过水平提升 $X_f^H$ 与 $U(1)$-作用的无穷小生成元 $E$，利用 $Q$ 上的哈密顿向量场表示 $P$ 上函数的表示。
• 通过向量场 $-X_f^H + ilde{f}E$ 构造 $C^inity(P)$ 在 $Q$ 上局部定义函数空间上的作用，其中 $ ilde{f} = ilde{f} imes ext{pr}^*f$。
• 当 $P$ 具有边界时，允许 $Q$ 上的 $U(1)$-作用具有不动点，导致截面为层值而非线丛截面。
• 通过复分析与接触几何中的例子（如球面嵌入与 LeBrun-Poisson 流形的预量化）来动机不动点推广。
• 提出预量化的上同调与非交换推广，利用极化截面的层上同调与纵向 de Rham 复形上的 $L_inity$-代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将预量化推广至 Dirac 流形，从而统一泊松与预辛情形？
• RQ2 当基流形具有边界时，$U(1)$-作用在预量化丛上的不动点起何作用？
• RQ3 当 $U(1)$-作用具有不动点时，标准几何量化的程序是否可扩展至层值截面？
• RQ4 在预量化阶段采用上同调方法如何改进 Poisson 代数在 $Q$ 上的表示？
• RQ5 由特征叶状结构的群胚代数导出的非交换 Poisson 代数是否可被预量化，其可承认何种表示？

主要发现

• 通过配备相容 Dirac-Jacobi 结构的主 $U(1)$-丛 $Q$，实现了对 Dirac 流形 $P$ 的预量化，推广了辛、泊松与预辛预量化。
• $C^inity(P)$ 在 $Q$ 上局部定义函数上的作用通过向量场 $-X_f^H + ilde{f}E$ 实现，该向量场生成了关于 $Q$ 上接触结构的函数 $f$ 的哈密顿流。
• 当 $Q$ 上的 $U(1)$-作用具有不动点（例如在 $P$ 的边界上）时，截面空间变为层而非线丛截面，从而允许更一般的几何量化的框架。
• 给出了一种构造：通过将具有退化泊松结构的泊松流形（如 LeBrun-Poisson 流形）的预量化与圆盘的标准预量化粘合，可实现紧化，从而得到如 $S^{2n+1}$ 的紧致接触流形。
• 预量化中的上同调方法导致局部可接受函数的上同调群作用于 $Q$ 上局部函数的第二上同调群，推广了标准表示。
• 提出通过特征叶状结构的纵向 de Rham 复形上的 $L_inity$-代数结构实现非交换预量化，为 Dirac 流形的代数量化的新型路径提供了可能。