[论文解读] Varieties of bicommutative algebras

Vesselin Drensky|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文研究了特征为 0 的域上双交换代数子簇的余维数增长。证明了任何满足 $k$ 次多项式恒等式的子簇，其余维数序列被一个 $k-1$ 次多项式所界定，从而确立了所有双交换代数的簇 $\mathfrak{B}$ 的指数为 2 时是最小的。本文进一步表明，二维代数 $A_{1,-1}$ 生成了整个簇 $\mathfrak{B}$，而 $A_{0,1}$ 和 $A_{1,0}$ 分别生成由左-和右-幂零性恒等式定义的子簇。

ABSTRACT

Bicommutative algebras are nonassociative algebras satisfying the polynomial identities of right- and left-commutativity (xy)z=(xz)y and x(yz)=y(xz). We study subvarieties of the variety of all bicommutative algebras over a field of characteristic 0. We prove that if the subvariety satisfies a polynomial identity of degree k, then its codimension sequence is bounded by a polynomial of degree k-1. Since the exponent of the variety of all bicommutative algebras is equal to 2, this gives that it is minimal with respect to the codimension growth. Up to isomorphism there are three one-generated two-dimensional bicommutative algebras with one-dimensional square which are nonassociative. We present bases of their polynomial identities and show that one of these algebras generates the whole variety of bicommutative algebras.

研究动机与目标

• 分析特征为 0 的域上双交换代数簇 $\mathfrak{B}$ 内子簇的余维数增长。
• 确定满足 $k$ 次多项式恒等式的子簇 $\mathfrak{V} \subset \mathfrak{B}$ 的余维数序列 $c_n(\mathfrak{V})$ 的渐近行为。
• 对满足 $\dim A^2 = 1$ 的二维非结合双交换代数进行分类，并确定哪些代数能生成整个簇 $\mathfrak{B}$。
• 确立 $\mathfrak{B}$ 在余维数增长意义下是最小的，其指数为 2，且任何真子簇均不能具有指数 2。

提出的方法

• 本文以可数秩的自由双交换代数 $F(\mathfrak{B})$ 为基础，用于分析多项式恒等式。
• 采用余维数序列 $c_n(\mathfrak{V})$ 作为恒等式复杂度的度量，其中指数 $\exp(\mathfrak{V}) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{c_n(\mathfrak{V})}$。
• 作者推导出 $c_n(\mathfrak{V})$ 的上界，以定义恒等式的次数 $k$ 表示，表明其被一个 $k-1$ 次多项式所界定。
• 通过其乘法规则分析三个单生成元二维双交换代数 $A_{0,1}, A_{1,0}, A_{1,-1}$ 的结构，并在一般元素上验证恒等式以测试其满足性。
• 采用线性代数方法，通过 $A^k$ 和 $\dim(A)^n$ 的维数来界定有限维代数的余维数，从而得到不等式 $c_n(A) \leq \dim(A^k) \cdot \dim^n(A)$。
• 证明 $A_{1,-1}$ 生成 $\mathfrak{B}$ 的关键在于其在单变量下不满足任何非平凡恒等式，从而推出其生成整个簇。

实验结果

研究问题

• RQ1 双交换代数簇 $\mathfrak{B}$ 的真子簇 $\mathfrak{V}$ 的余维数增长的最大可能值是多少？
• RQ2 簇 $\mathfrak{B}$ 能否由一个一维自由代数生成，还是需要更高秩？
• RQ3 哪些满足 $\dim A^2 = 1$ 的二维双交换代数能生成整个簇 $\mathfrak{B}$？
• RQ4 在 $\mathfrak{B}$ 的子簇中，多项式恒等式的次数与余维数序列增长速率之间有何关系？
• RQ5 代数 $A_{0,1}$ 和 $A_{1,0}$ 是否满足除三阶左-和右-幂零性恒等式之外的其他恒等式？

主要发现

• 任何满足 $k$ 次恒等式的子簇 $\mathfrak{V} \subset \mathfrak{B}$ 的余维数序列 $c_n(\mathfrak{V})$ 均被一个 $n$ 的 $k-1$ 次多项式所界定。
• 所有双交换代数的簇 $\mathfrak{B}$ 的余维数序列为 $c_n(\mathfrak{B}) = 2^n - 2$（$n \geq 2$），故 $\exp(\mathfrak{B}) = 2$。
• 簇 $\mathfrak{B}$ 在余维数增长意义下是最小的，因为任何真子簇 $\mathfrak{V}$ 均有 $\exp(\mathfrak{V}) \leq 1$。
• 代数 $A_{1,-1}$（定义为 $rr^2 = r^2$，$r^2r = -r^2$，$r^2r^2 = -r^2$）生成了整个簇 $\mathfrak{B}$。
• 代数 $A_{0,1}$ 和 $A_{1,0}$ 分别生成由恒等式 $x_1(x_2x_3) = 0$ 和 $(x_1x_2)x_3 = 0$ 定义的子簇，对应于三阶左-和右-幂零性。
• $A_{1,-1}$ 的余维数满足 $c_n(A_{1,-1}) = 2^n - 2$，与 $c_n(\mathfrak{B})$ 一致，从而确认其生成了整个簇。