[论文解读] Variety Evasive Subspace Families

Zeyu Guo|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 66被引用 1

一句话总结

本论文提出了多样性回避子空间族——在射影或仿射空间中，与低次代数簇相交时具有期望维数的k-子空间的显式构造。通过使用Chow形式，该方法实现了对有界次数代数簇的多项式大小回避族，从而实现了Noether归一化定理的完全去随机化，并简化了具有有界上下层扇入的深度4电路的黑箱PIT。

ABSTRACT

We introduce the problem of constructing explicit variety evasive subspace families. Given a family $\mathcal{F}$ of subvarieties of a projective or affine space, a collection $\mathcal{H}$ of projective or affine $k$-subspaces is $(\mathcal{F},ε)$-evasive if for every $\mathcal{V}\in\mathcal{F}$, all but at most $ε$-fraction of $W\in\mathcal{H}$ intersect every irreducible component of $\mathcal{V}$ with (at most) the expected dimension. The problem of constructing such an explicit subspace family generalizes both deterministic black-box polynomial identity testing (PIT) and the problem of constructing explicit (weak) lossless rank condensers. Using Chow forms, we construct explicit $k$-subspace families of polynomial size that are evasive for all varieties of bounded degree in a projective or affine $n$-space. As one application, we obtain a complete derandomization of Noether's normalization lemma for varieties of low degree in a projective or affine $n$-space. In another application, we obtain a simple polynomial-time black-box PIT algorithm for depth-4 arithmetic circuits with bounded top fan-in and bottom fan-in that are not in the Sylvester-Gallai configuration, improving and simplifying a result of Gupta (ECCC TR 14-130). As a complement of our explicit construction, we prove a tight lower bound for the size of $k$-subspace families that are evasive for degree-$d$ varieties in a projective $n$-space. When $n-k=n^{Ω(1)}$, the lower bound is superpolynomial unless $d$ is bounded. The proof uses a dimension-counting argument on Chow varieties that parametrize projective subvarieties.

研究动机与目标

• 构造仿射或射影n维空间中具有有界次数的代数簇的显式、多项式大小的k-子空间族，使其对这些代数簇具有回避性。
• 将确定性黑箱多项式恒等式检验（PIT）和无损秩压缩器推广至高维代数簇。
• 为低次代数簇提供Noether归一化引理的完全去随机化证明。
• 简化并改进具有有界扇入的深度4算术电路的现有黑箱PIT算法。
• 通过Chow簇上的维数计数，建立此类子空间族大小的紧下界。

提出的方法

• 利用Chow形式编码代数簇及其与子空间的交集，实现对关联条件的代数操作。
• 在Chow簇上应用维数计数论证，推导出回避子空间族大小的下界。
• 采用归纳法和Bézout型次数界，控制子空间与代数簇不可约分支交集的维数。
• 利用中间子空间族的(n, rk, 1/4)-回避性，确保大多数子空间避开给定代数簇的所有分支。
• 在有理曲线情形下，通过符号行列式将子空间回避性问题约化为黑箱PIT。
• 通过迭代应用子空间设计和理想理论约化，构造显式族，确保其为多项式规模且可高效计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为超曲面和线性子簇以外的代数簇族构造显式多样性回避子空间族？
• RQ2 此类族能否用于去随机化代数几何中的非显式结果，例如Noether归一化引理？
• RQ3 对于有界次数的代数簇，(F, ε)-回避子空间族的最优大小是多少？其随n和d如何变化？
• RQ4 能否改进构造，以缩小定理1.6中的上界与定理1.7中的下界之间的差距？
• RQ5 能否将回避性的概念扩展至‘有损’或‘强’变体，以限制总维数偏差而非仅坏子空间的数量？

主要发现

• 本文构造了显式k-子空间族，其规模为多项式，且对仿射或射影n维空间中所有有界次数的子簇均具有(F, ε)-回避性。
• 该构造实现了对低次代数簇的Noether归一化引理的完全去随机化，这是代数几何中一个重要的非显式结果。
• 获得了一种新的、简化后的多项式时间黑箱PIT算法，适用于具有有界上下层扇入的深度4算术电路，优于Gupta（ECCC TR 14-130）的先前工作。
• 当n − k = nΩ(1)时，证明了(F, ε)-回避族大小的超多项式下界，除非d有界，表明该构造近乎最优。
• 该下界通过参数化有界次数射影子簇的Chow簇上的维数计数得出。
• 对于n − k = O(1)的特殊情况，本文未解决多项式规模显式构造是否存在，但表明当d = O(log n)时此类构造是可能的。