[论文解读] Various congruences involving binomial coefficients and higher-order Catalan numbers

Zhi‐Wei Sun|ArXiv.org|Sep 21, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文建立了关于加权二项式系数和高阶Catalan数模素数幂的新同余式，特别关注模 $p$ 下的 $Σ_{k=0}^{p^a-1} inom{3k}{k}/m^k$ 和 $inom{3k}{k}/m^k$。利用三阶与四阶线性递推、三次剩余及雅克比符号，推导出涉及勒让德符号与递推序列的精确表达式，扩展了此前关于广义Catalan数与模 $p$ 下二项式和的研究。关键结果为 $inom{3k}{k}/m^k o 1 mod{p}$ 与 $ar{C}_k^{(3)}/5^k o 3 mod{p}$ 的封闭形式表达式，其显式公式依赖于 $igl(rac{-2}{p^a}igr)$。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime and let $a$ be a positive integer. In this paper we investigate $\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom[(h+1)k,k+d]/m^k$ modulo a prime $p$, where $d$ and $m$ are integers with $-h

研究动机与目标

• 扩展已知的关于二项式系数和Catalan数模素数幂的同余式，特别关注 $inom{3k}{k}/m^k$ 与 $inom{3k}{k}/5^k$ 模 $p^a$ 的情形。
• 利用三阶与四阶线性递推序列及三次剩余的性质，推导此类和的精确表达式。
• 推广Zhao、Pan、Sun及Sun-Tauraso关于 $inom{3k}{k}$、$C_k^{(2)}$ 与 $inom{4k}{k}$ 模 $p$ 的和的先前结果。
• 建立雅克比符号、递推序列与三阶广义Catalan数和结构之间的联系。

提出的方法

• 本文采用由特征多项式 $(1+x)^3 - mx^2$ 和 $(1+x)^4 - (4^4/3^3)x^3$ 分别关联的三阶与四阶线性递推序列 $u_n$ 与 $v_n$。
• 利用三次剩余理论与三次雅克比符号 $\left(\frac{\cdot}{n}\right)_3$ 分析模 $p$ 下和的结构。
• 该方法涉及将形如 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{3k}{k+d}/m^k$ 的和用递推序列 $u_n$ 与 $v_n$ 表示，借助模 $p$ 下的恒等式。
• 应用费马小定理与卢卡斯序列的性质，将索引模 $p^a$ 化简，特别是利用 $u_{n-p^a} \equiv \text{有理函数 of } u_n, u_{n+1} \pmod{p}$。
• 利用三次与四次多项式的判别式分析不可约性，并应用斯蒂克尔伯格定理以确定勒让德符号的值。
• 通过生成函数与对称多项式恒等式推导关键恒等式，特别关联 $inom{4k}{k}/5^k$ 与 $ar{C}_k^{(3)}/5^k$ 到递推项的线性组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于奇素数 $p$ 与正整数 $a$，$inom{3k}{k}/5^k \pmod{p}$ 的值为何？
• RQ2 当加权因子为 $1/5^k$ 时，涉及高阶Catalan数 $C_k^{(3)}$ 与 $\bar{C}_k^{(3)}$ 的和在模 $p$ 下的行为如何？
• RQ3 和 $inom{4k}{k}/5^k$ 能否用模 $p$ 下的递推序列表示？
• RQ4 勒让德符号 $igl(rac{-2}{p^a}igr)$ 在确定 $inom{4k}{k}/5^k$ 模 $p$ 的同余类中起何作用？
• RQ5 在什么条件下，当 $p^a \equiv 1 \pmod{6}$ 时，和 $inom{3k}{k}/6^k(k+1) \equiv 0 \pmod{p}$ 成立？

主要发现

• 通过递推约化与雅克比符号分析，确立了 $inom{3k}{k}/5^k \equiv 1 \pmod{p}$，其中 $C_k^{(3)} = \frac{1}{4}\binom{4k}{k} - 3\binom{4k}{k-1}$。
• 通过递推序列的对称组合，推导出 $inom{3k}{k}/5^k \equiv 3 \pmod{p}$，其中 $\bar{C}_k^{(3)} = 3\binom{4k}{k} - \binom{4k}{k+1}$。
• 当 $m=5$ 时，$inom{4k}{k}/5^k \equiv \frac{44 + \left(\frac{-2}{p^a}\right)}{288} \pmod{p}$，其值取决于勒让德符号 $\left(\frac{-2}{p^a}\right)$。
• 利用四阶递推与索引模化，推导出 $inom{4k}{k} \cdot \frac{3^{3k}}{4^{4k}} \equiv \frac{44 + \left(\frac{-2}{p^a}\right)}{288} \pmod{p}$。
• 通过递推项的线性组合，得到 $inom{4k}{k-1} \cdot \frac{3^{3k}}{4^{4k}} \equiv -\frac{220 + 23\left(\frac{-2}{p^a}\right)}{864} \pmod{p}$。
• 对于 $p>3$ 且 $p^a \equiv 1 \pmod{6}$，利用不可约性与斯蒂克尔伯格定理，证明了 $inom{3k}{k}/6^k(k+1) \equiv 0 \pmod{p}$ 与 $inom{3k}{k-1}/6^k \equiv 0 \pmod{p}$。