[论文解读] Various notions of best approximation property in spaces of Bochner integrable functions

Tanmoy Paul|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2016

Advanced Banach Space Theory被引用 5

一句话总结

该论文证明了，对于Banach空间$X$的可分近似子空间$Y$，当$1 \leq p < \infty$时，$L^p(I, Y)$在$L^p(I, X)$中继承了$Y$的强近似性与球近似性；当$p = \infty$时，需额外要求一致近似性。关键贡献在于通过$1\frac{1}{2}$-球性质刻画了一致近似性，该结果可推广至Bochner空间，并识别出新的具有一致近似性的集合类，包括具有三球交性质（3.2.I.P.）的空间中的M-理想单位球。

ABSTRACT

We derive that for a separable proximinal subspace $Y$ of $X$, $Y$ is strongly proximinal (strongly ball proximinal) if and only if for $1\leq p< \infty$, $L_p(I,Y)$ is strongly proximinal (strongly ball proximinal) in $L_p(I,X)$. Case for $p=\infty$ follows from stronger assumption on $Y$ in $X$ (uniform proximinality). It is observed that for a separable proximinal subspace $Y$ in $X$, $Y$ is ball proximinal in $X$ if and only if $L_p(I,Y)$ is ball proximinal in $L_p(I,X)$ for $1\leq p\leq\infty$. Our observations also include the fact that for any (strongly) proximinal subspace $Y$ of $X$, if every separable subspace of $Y$ is ball (strongly) proximinal in $X$ then $L_p(I,Y)$ is ball (strongly) proximinal in $L_p(I,X)$ for $1\leq p<\infty$. We introduce the notion of uniform proximinality of a closed convex set in a Banach space, which is wrongly defined in \cite{LZ}. Several examples are given having this property, viz. any $U$-subspace of a Banach space, closed unit ball $B_X$ of a space with $3.2.I.P$, closed unit ball of any M-ideal of a space with $3.2.I.P.$ are uniformly proximinal. A new class of examples are given having this property.

研究动机与目标

• 研究子空间$Y$的强近似性与球近似性在Bochner空间$L^p(I, Y)$中的继承性。
• 澄清并修正Banach空间中一致近似性的定义。
• 识别新的具有一致近似性的集合类，特别是M-理想中的闭单位球以及具有3.2.I.P.的空间。
• 建立$L^p(I, Y)$在$L^p(I, X)$中为强近似或球近似所需的充要条件。

提出的方法

• 使用度量投影$P_C(x)$与距离函数$d(x, C)$定义近似性及其强化形式。
• 应用$1\frac{1}{2}$-球性质刻画$X$中$B_Y$的强球近似性，推广了Yost的定义。
• 利用$I = [0,1]$与Lebesgue测度下的Bochner $L^p$-空间结构，分析逼近性质的稳定性。
• 借助3.2.I.P.（三球交性质）证明：若$X$具有此性质，则$B_X$具有一致近似性。
• 通过距离公式与集合论刻画（例如$P_{B_Y}(x, \delta) = P_{B_Y}(x)_\delta \cap B_Y$）证明条件的等价性。
• 构造反例（如例3.9）表明：$B_Y$的强近似性并不蕴含$L^\infty(I, Y)$的强近似性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，子空间$Y$在$X$中具有强近似性，可推出$L^p(I, Y)$在$L^p(I, X)$中也具有强近似性（$1 \leq p < \infty$）？
• RQ2 能否利用$1\frac{1}{2}$-球性质刻画$B_Y$在$X$中的一致近似性？
• RQ3 Banach空间$X$的3.2.I.P.是否蕴含$B_X$具有一致近似性？
• RQ4 $L^p$-空间构造在$p = \infty$时是否保持球近似性？
• RQ5 除一致凸空间外，还有哪些新的集合类具有一致近似性？

主要发现

• 当$1 \leq p < \infty$时，$X$的可分近似子空间$Y$当且仅当$L^p(I, Y)$在$L^p(I, X)$中为强近似时，$Y$在$X$中为强近似（相应地，强球近似）。
• 当$1 \leq p \leq \infty$时，$Y$在$X$中为球近似当且仅当$L^p(I, Y)$在$L^p(I, X)$中为球近似。
• $B_Y$在$X$中具有$1\frac{1}{2}$-球性质，当且仅当对所有$x \in X$与$\delta > 0$，有$P_{B_Y}(x, \delta) = P_{B_Y}(x)_\delta \cap B_Y$，且该性质蕴含强球近似性。
• 若$X$具有3.2.I.P.，则$B_X$具有一致近似性，因此$L^1(I, X)$与$L^\infty(I, X)$继承了$1\frac{1}{2}$-球性质。
• 若$Y$是具有3.2.I.P.的Banach空间$X$中的M-理想，则$B_Y$在$X$中具有一致近似性，且$L^1(I, Y)$与$L^\infty(I, Y)$继承此性质。
• Banach空间$X$的闭单位球$B_X$具有一致近似性，当且仅当$B_{L^1(I,X)}$与$B_{L^\infty(I,X)}$具有一致近似性，如推论6.8所示。