[论文解读] "Varopoulos paradigm": Mackey property vs. metrizability in topological groups

Lydia Außenhofer, Daniel de la Barrera Mayoral+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

该论文证明了阿贝尔群满足Varopoulos范式（即每个可度量的局部准凸拓扑都是Mackey拓扑）当且仅当该群为有限指数群（即有界群）。作者通过对偶理论和特征群分析，证明了在无界阿贝尔群上，可度量的局部准凸拓扑均非Mackey拓扑，从而在所有无界情形下确立了非Mackey拓扑的存在性。

ABSTRACT

The class of all locally quasi-convex (lqc) abelian groups contains all locally convex vector spaces (lcs) considered as topological groups. Therefore it is natural to extend classical properties of locally convex spaces to this larger class of abelian topological groups. In the present paper we consider the following well known property of lcs: "A metrizable locally convex space carries its Mackey topology ". This claim cannot be extended to lqc-groups in the natural way, as we have recently proved with other coauthors (\cite{AD}, \cite{DMPT}). We say that an abelian group $G$ satisfies the \emph{Varopoulos paradigm} (VP) if any metrizable locally quasi-convex topology on $G$ is the Mackey topology. Surprisingly VP - which is a topological property of the group - is characterizes an algebraic feature, namely being of finite exponent.

研究动机与目标

• 确定在何种代数条件下，阿贝尔群上的可度量局部准凸拓扑是Mackey拓扑。
• 研究局部凸空间中的经典结果——可度量空间携带其Mackey拓扑——是否可推广至更广泛的局部准凸阿贝尔群类。
• 刻画所有可度量局部准凸拓扑均为Mackey拓扑的阿贝尔群类，识别出该类为有界（有限指数）群。
• 通过证明相容拓扑中存在最大拓扑当且仅当群为有界群，解决局部准凸阿贝尔群中的Mackey问题。

提出的方法

• 使用阿贝尔拓扑群中的对偶理论，特别是特征群 $G^\wedge = \text{Hom}(G, \mathbb{T})$。
• 应用局部准凸拓扑及其与对偶群相容性的概念。
• 通过将群分解为初等p-子群的直和，构造无界阿贝尔群上的非Mackey可度量拓扑。
• 利用关于子群（如 $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Z}(p^\infty)$, 和 $\bigoplus_{n} \mathbb{Z}_{p^n}$）上非Mackey拓扑的已知结果。
• 利用群为有界当且仅当其所有元素阶有限的性质，以及有界性蕴含存在最大相容拓扑的事实。
• 在约化、挠群的情形下使用反证法：假设基本子群有界，将导致与商群结构矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部凸空间中的经典Mackey性质是否可推广至可度量的局部准凸阿贝尔群？
• RQ2 阿贝尔群的何种代数条件可确保其所有可度量局部准凸拓扑均为Mackey拓扑？
• RQ3 能否在无界阿贝尔群上构造出非Mackey的可度量拓扑？
• RQ4 在局部准凸群类中，相容拓扑中存在最大拓扑（即Mackey拓扑）是否等价于有界性？
• RQ5 特征群 $G^\wedge$ 的结构如何与阿贝尔拓扑群中的Mackey性质相关？

主要发现

• 阿贝尔群满足Varopoulos范式（即每个可度量的局部准凸拓扑都是Mackey拓扑）当且仅当该群为有界群（即有限指数群）。
• 对于无界阿贝尔群，总存在一个非Mackey的可度量局部准凸拓扑，该结论通过将子群嵌入 $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Z}(p^\infty)$, 或 $\bigoplus_{i} \mathbb{Z}_{p^{n_i}}$ 得到证明。
• 在 $\bigoplus_{\omega} \mathbb{Z}_{m_n}$ 上，可度量局部准凸群拓扑 $\tau_{\mathbf{c}}$ 的特征群同构于 $\bigoplus_{\omega} \mathbb{Z}_{m_n}^\wedge$，该同构用于证明某些特征函数不属于对偶群，从而表明该拓扑非Mackey。
• 证明依赖于构造一个特征函数 $\chi$，使得 $\chi(x) \notin \mathbb{T}_+$，从而与 $x$ 属于0的邻域的假设矛盾，进而证明 $\chi \notin (G, \tau_{\mathbf{c}})^\wedge$。
• 在仅有有限个非平凡初等p-子群的约化、挠群中，若基本子群无界，则存在一个非Mackey的可度量拓扑。
• Mackey性质对所有可度量局部准凸拓扑成立与有界性之间的等价性被确立为定理A，其中正向由定理C证明，逆向由定理B证明。