[论文解读] $(\\varphi,\\Gamma)$-modules de de Rham et fonctions $L$ $p$-adiques

Joaquín Rodrigues Jacinto|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文發展了Coleman與Perrin-Riou方法的一種變體，利用相容的全局元素系統，為de Rham伽羅瓦表示構造p進L函數。它在包含大導子局部代數特徵的p進權空間的開子集上建立了解析p進L函數，並在二維情況下證明了函數方程，將構造推廣至具有加法性不良還原的橢圓曲線與在p處為超臨界模形式的情況。

ABSTRACT

Nous étudions, dans cette thèse, la construction des fonctions L p-adiques des motifs
 sur Q et, plus particulièrement, des formes modulaires.
 Dans les premiers trois chapitres on étend des constructions de Perrin-Riou pour
 construire, pour une représentation p-adique de de Rham V du groupe de Galois absolu
 GQp de Qp (ou, plus généralement, un (ϕ, Γ)-module de de Rham sur l’anneau de Robba)
 et un système compatible d’éléments globaux, une fonction L p-adique. On montre, en
 utilisant des lois de réciprocité montrées par Perrin-Riou, Colmez, Cherbonnier-Colmez,
 Berger et Nakamura, que ces fonctions interpolent des valeurs arithmétiques intéressantes
 aux caractères localement algébriques.
 Dans les derniers trois chapitres, on se spécialise au cas de dimension 2. On démontre,
 en s’inspirant des techniques de Nakamura et des nouvelles techniques de changement
 de poids de Colmez introduites pour l’étude des vecteurs localement algébriques dans la
 correspondance de Langlands p-adique pour GL2(Qp), une équation fonctionnelle pour
 notre fonction L p-adique. Comme une application de cette équation fonctionnelle, on
 fournit les argument manquants dans les travaux de Nakamura complétant la preuve de la
 conjecture ε locale de Kato pour les représentations de dimension 2. Pour le motif associé
 à une forme modulaire, on utilise tous ces résultats pour interpréter les valeurs interpolées
 par la fonction L p-adique en termes des valeurs spéciales de la fonction L complexe de
 cette forme. // This thesis studies the construction of p-adic L-functions associated to motives over Q
 and, in particular, to modular forms.
 In the first three chapters we generalize some constructions of Perrin-Riou in order to
 construct, for any p-adic de Rham representation V of the absolute Galois group GQp of Qp
 (or, more generally, any de Rham (ϕ, Γ)-module over the Robba ring) and any compatible
 system of global elements, a p-adic L-function. We show, by the use of some reciprocity
 laws proved by Perrin-Riou, Colmez, Cherbonnier-Colmez, Berger and Nakamura, that
 these functions interpolate interesting arithmetic values at locally algebraic characters.
 The last three chapters deal with the particular case of dimension 2. We show, inspired
 by some techniques of Nakamura and certain weight change techniques introduced by
 Colmez for the study of locally algebraic vectors in the p-adic Langlads correspondence for
 GL2(Qp), that our p-adic L-function satisfies a functional equation. As an application of our
 functional equation, we fulfil the missing arguments in the work of Nakamura, providing
 a complete proof of Kato’s local ε-conjecture for 2-dimensional representations. For the
 motive associated to a modular form, we use these results to interpret the interpolated
 values of the p-adic L-function in terms of special values of the complex L-function of the
 form.

研究动机与目标

• 將p進L函數的構造從半穩定或晶體情形推廣至具有加法性不良還原的de Rham表示。
• 將Coleman與Perrin-Riou的方法推廣至非半穩定表示，使其能適用於相容的全局元素系統。
• 在p進權空間的開集上，以解析方式定義p進L函數，包含導子較大的特徵。
• 在二維表示的情況下，建立p進L函數的函數方程。
• 將方法應用於Kato的歐拉系，從而構造具有加法還原的橢圓曲線與在p處為超臨界模形式的p進L函數。

提出的方法

• 使用與de Rham伽羅瓦表示相關的(ϕ, Γ)-模，分析其霍奇-泰特與de Rham結構。
• 應用過收斂(ϕ, Γ)-模理論與單值定理，以控制收斂性與上同調性質。
• 在Fontaine環的框架下，透過p進週期與指數映射的插值，構造局部p進L函數。
• 運用Perrin-Riou指數映射及其對偶，跨權插值L函數的特殊值。
• 利用Robba環與Iwasawa上同調，將全球歐拉系元素與p進L函數關聯起來。
• 應用 syntomic 與 de Rham 上同調理論，將p進L值與syntomic上同調算子及特殊值關聯。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否為非半穩定的de Rham表示（特別是具有加法還原者）構造p進L函數？
• RQ2 Coleman與Perrin-Riou的方法應如何調整，以適用於非半穩定情形下的相容全局元素系統？
• RQ3 所構造的p進L函數在p進權空間中的解析定義域為何？
• RQ4 在二維情況下，p進L函數是否滿足函數方程？
• RQ5 Kato的歐拉系能否用於構造在p處為超臨界模形式的p進L函數？

主要发现

• 本文在包含所有導子足夠大的局部代數特徵的p進權空間的開子集上，將p進L函數構造為解析函數。
• 該構造適用於具有加法性不良還原的橢圓曲線，將p進L函數理論推廣至半穩定情形之外。
• 對於在p處為超臨界模形式的情況，該方法透過Kato的歐拉系產生p進L函數。
• 在二維情況下，所構造的p進L函數滿足函數方程，廣義化了L函數的古典函數方程。
• 該方法依賴於(ϕ, Γ)-模與Fontaine環框架下p進週期與指數映射的精細插值。
• 研究成果透過推廣過收斂(ϕ, Γ)-模理論，並利用Iwasawa上同調將全球歐拉系元素與p進L值關聯而達成。