[论文解读] VC v. VCG: Inapproximability of Combinatorial Auctions via Generalizations of the VC Dimension

Elchanan Mossel, Christos H. Papadimitriou+2 more|ArXiv.org|May 13, 2009

Auction Theory and Applications参考文献 41被引用 6

一句话总结

本文通过将VC维推广至不相交集合的k元组，提出了一种新颖的框架，用于证明组合拍卖中的不可逼近性结果，从而首次为基于VCG和最大范围机制的计算复杂性下界提供了依据。在假设 NP ⊈ P/poly 的前提下，证明了不存在多项式时间的诚实机制能够实现优于 1/2 的近似比，适用于具有上限加法估值的2位竞标者组合拍卖，以及优于 (n+1)/(2n) 的近似比，适用于n位竞标者的情况。

ABSTRACT

The existence of incentive-compatible computationally-efficient protocols for combinatorial auctions with decent approximation ratios is the paradigmatic problem in computational mechanism design. It is believed that in many cases good approximations for combinatorial auctions may be unattainable due to an inherent clash between truthfulness and computational efficiency. However, to date, researchers lack the machinery to prove such results. In this paper, we present a new approach that we believe holds great promise for making progress on this important problem. We take the first steps towards the development of new technologies for lower bounding the VC dimension of k-tuples of disjoint sets. We apply this machinery to prove the first computational-complexity inapproximability results for incentive-compatible mechanisms for combinatorial auctions. These results hold for the important class of VCG-based mechanisms, and are based on the complexity assumption that NP has no polynomial-size circuits.

研究动机与目标

• 解决一个长期存在的开放问题：诚实且计算高效的机制是否能在组合拍卖中实现良好的近似比。
• 弥合无限制算法与诚实算法之间已知近似比的差距，这一差距被认为源于诚实性与效率之间的内在张力。
• 开发新的理论工具——特别是针对不相交集合的k元组的广义VC维概念——以在该设定下实现复杂性理论下界。
• 确立在标准复杂性假设下，基于VCG和最大范围机制在近似性能上存在根本性限制。
• 探讨这些下界是否可推广至所有诚实机制，特别是在子次可加估值下的全部物品分配情形。

提出的方法

• 引入不相交子集k元组（即将一个全集划分为k个不相交集合）的VC维概念，将经典VC维推广至处理组合拍卖结果的场景。
• 采用非均匀归约技术：若基于VCG的机制能良好近似，则其必须在大量物品子集上解决一个NP难子问题，从而意味着其能高效解决完整问题。
• 利用机制范围对大段物品子集的破碎性，推断出机制必须隐式解决一个困难的优化问题。
• 应用Sauer-Shelah引理及其概率版本（Ajtai版本），以强化VC维下界并放宽计算假设。
• 通过证明良好近似将导致 NP ⊆ P/poly 来建立不可逼近性结果，这一结果被广泛认为是复杂性理论的崩溃。
• 证明在全部物品分配情形下，最大范围机制是子次可加估值下唯一的诚实机制，从而可推导出更强的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否利用广义VC维，建立诚实机制在组合拍卖中计算复杂性不可逼近性的结果？
• RQ2 基于VCG和最大范围机制在组合拍卖中未能实现常数近似比的程度如何？
• RQ3 不可逼近性结果背后的计算假设能否被弱化，例如从P/poly弱化为BPP？
• RQ4 这些下界是否可推广至所有诚实机制，而不仅限于最大范围机制？
• RQ5 在2位竞标者且具有上限加法估值的设定下，任何诚实机制所能实现的最紧近似比是多少？

主要发现

• 本文首次利用广义VC维，建立了基于VCG机制在组合拍卖中的计算复杂性不可逼近性结果。
• 对于具有上限加法估值的2位竞标者组合拍卖，除非 NP ⊆ P/poly，否则不存在多项式时间的最大范围机制能实现优于 1/2 的近似比。
• 在子次可加估值下的全部物品分配情形中，所有诚实机制均面临相同的 1/2 下界，因为此时最大范围机制是唯一的诚实机制。
• 对于具有上限加法估值的n位竞标者，除非 NP ⊆ P/poly，否则不存在最大范围机制能实现优于 (n+1)/(2n) + ε 的近似比。
• 通过使用Ajtai的概率版本Sauer-Shelah引理，可将计算假设弱化为 NP ∉ BPP，表明未来可能发展出更强的随机VC理论工具。
• 作者推测，在n位竞标者情形下，任何诚实机制均无法实现常数近似比，且对2位竞标者而言，平凡的 1/2 上界是紧的。