[论文解读] Vector analysis for Dirichlet forms and quasilinear PDE and SPDE on metric measure spaces

Michael Hinz, Michael Röckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文在度量测度空间上为正则Dirichlet型构建了向量分析框架，通过1-形式空间$\mathcal{H}$的直接积分表示，引入了向量场的$L_p$-空间与Sobolev空间。利用单调性与不动点方法，建立了拟线性椭圆型PDE与SPDE（如随机$p$-Laplace方程）的存在性与唯一性结果，其应用涵盖Sierpinski地毯等分形空间。

ABSTRACT

Starting with a regular symmetric Dirichlet form on a locally compact separable metric space $X$, our paper studies elements of vector analysis, $L_p$-spaces of vector fields and related Sobolev spaces. These tools are then employed to obtain existence and uniqueness results for some quasilinear elliptic PDE and SPDE in variational form on $X$ by standard methods. For many of our results locality is not assumed, but most interesting applications involve local regular Dirichlet forms on fractal spaces such as nested fractals and Sierpinski carpets.

研究动机与目标

• 将向量分析推广至配备正则Dirichlet型的一般度量测度空间，尤其适用于非光滑与分形情形。
• 通过纤维$\mathcal{H}_x$上的直接积分结构，定义向量场的$L_p$-空间与函数及向量场的Sobolev空间。
• 在抽象框架中，利用单调性与不动点论证，建立拟线性椭圆型PDE与SPDE在变分形式下的存在性与唯一性结果。
• 通过加性泛函与Revuz测度，为1-形式空间$\mathcal{H}$提供概率解释。
• 通过引入加权能量测度与扰动技术，推广Dirichlet型中的非散度型算子。

提出的方法

• 通过张量积与能量范数构造1-形式空间$\mathcal{H}$，推广光滑情形下的$L_2$-微分1-形式。
• 将$\mathcal{H}$表示为可测场的直接积分$(\mathcal{H}_x)_{x\in X}$，从而为所有$p \in [1,\infty)$定义向量场的$L_p$-空间。
• 在$\mathcal{H}$上定义梯度与散度算子，其中散度通过与符号Revuz测度$\mu_{\Gamma(M)}$的积分来解释。
• 利用加权能量测度与能量主导测度（如Kusuoka测度）处理分形上的奇异能量测度。
• 应用扰动理论，构造带漂移与势项的闭双线性形式$\mathcal{Q}(f,g)$，推广非散度型算子。
• 推导伴随算子$\partial^*\omega$的表示，其为关于$m$绝对连续的测度，密度为$\partial^*\omega(x) = (\partial^*\hat{b})(x)u(x) + \langle \hat{b}_x, \partial_x u \rangle_{\mathcal{H}_x}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在配备正则Dirichlet型的度量测度空间上系统地发展向量分析，尤其当底空间为非光滑或分形时？
• RQ2 在非局部Dirichlet型的背景下，向量场的$L_p$-空间与函数及向量场的Sobolev空间的适当类比是什么？
• RQ3 能否在此抽象框架中，利用单调性与不动点方法，建立拟线性椭圆型PDE与SPDE在变分形式下的存在性与唯一性结果？
• RQ4 如何通过Revuz测度与加性泛函，以概率方式表示外微分算子$\partial^*$的伴随算子？
• RQ5 此设定下非散度型算子的推广是什么？其与Dirichlet型扰动的关系如何？

主要发现

• 通过能量范数与张量积构造的1-形式空间$\mathcal{H}$，在经典光滑黎曼情形下与$L_2$-微分1-形式空间一致。
• 对$\mathcal{H}$的直接积分表示允许为所有$p \in [1,\infty)$定义向量场的$L_p$-空间，其中$\mathcal{H}$对应于$p=2$。
• 对$\omega = \Theta^{-1}(M) \in \mathcal{H}$，其伴随算子$\partial^*\omega$可通过与符号Revuz测度$\mu_{\Gamma(M)}$的积分来表示；若$\omega \in \text{dom}\,\partial^*$，则$\mu_{\Gamma(M)}$关于$\mu$绝对连续，且其密度满足$\partial^*\omega \in L_2(X,\mu)$。
• 定义了带漂移项$b, \hat{b} \in \mathcal{H}_\infty$与势项$c \in L_\infty(X,m)$的双线性形式$\mathcal{Q}(f,g)$，其在$L_2(X,m)$上闭合，且当$\alpha > 0$足够大时，其关联半群保持正性。
• 形式$\mathcal{Q}_\alpha$的生成元$L^\mathcal{Q}$满足：对$m$-几乎处处的$x$，有$L^\mathcal{Q}u(x) = L^{(m)}u(x) + \langle b_x, \partial_x u \rangle_{\mathcal{H}_x} - \partial^*(u\hat{b})(x) + c(x)u(x)$，从而推广了非散度型算子。
• 通过加性泛函与Revuz测度对$\mathcal{H}$的概率解释，建立了与随机分析及Dirichlet型扰动理论的联系，特别是通过表示式$\partial^*\omega(h) = \int_X h \, d\mu_{\Gamma(M)}$。