[论文解读] Vector bundles and p-adic representations I

Christopher Deninger, Annette Werner|ArXiv.org|Sep 17, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文建立了在 $p$-进曲线 $X_{\mathbb{C}_p}$ 上的特殊向量丛范畴与代数基本群 $\pi_1(\overline{X}, \overline{x})$ 的连续 $p$-进表示之间的一个函子性对应。关键结果是该函子 $\rho$ 是正合的，与张量结构相容，并通过 Hodge–Tate 分解识别出其对应的 Hodge–Tate 映射，利用 $p$-进 Hodge 理论将经典结果推广至高秩丛。

ABSTRACT

We define and study a certain category of vector bundles on a p-adic curve to which we can associate in a functorial way finite dimensional p-adic representations of the geometric fundamental group. Among other things we investigate two different relations of these constructions with the Hodge-Tate decomposition.

研究动机与目标

• 构建一个从 $p$-进曲线上的向量丛范畴到其代数基本群的连续 $p$-进表示的函子。
• 将 Tate 对于度数为零的线丛的构造推广至高秩向量丛。
• 通过 Hodge–Tate 分解将关联的表示函子与 Hodge–Tate 映射相联系。
• 探讨向量丛属于该范畴当且仅当其不可约分量的度数为零的可能性。

提出的方法

• 通过对其模 $p^n$ 的约化对所有 $n \geq 1$ 施加条件，定义 $X_{\mathbb{C}_p}$ 上向量丛的全子范畴 $\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$。
• 构造一个函子 $\rho$，为 $\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$ 中的每个丛 $E$ 赋予一个在纤维 $E_{\overline{x}}$ 上的、关于 $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$-等变的 $\pi_1(\overline{X}, \overline{x})$ 的连续表示。
• 利用 $p$-进 Hodge 理论与普遍向量丛扩张理论，将表示函子的李代数与 Hodge–Tate 映射相联系。
• 证明函子 $\rho$ 与张量积、对偶、内部 Hom 及外幂运算可交换，确保其与张量结构相容。
• 证明对于度数为零的线丛，表示 $\rho_L$ 与通过 Picard 代数群的 $p$-可除群构造的 Tate 构造一致。
• 证明在同调群上诱导的映射与 Hodge–Tate 嵌入 $i_{HT}: H^1(X, \mathcal{O}) \otimes_K \mathbb{C}_p \hookrightarrow H^1_{\text{ét}}(\overline{X}, \mathbb{Q}_p) \otimes_{\mathbb{Q}_p} \mathbb{C}_p$ 一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 函子 $\rho: \mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}} \to \mathbf{Rep}_{\pi_1(\overline{X}, \overline{x})}(\mathbb{C}_p)$ 是否是完全忠实的？
• RQ2 函子 $\rho$ 的本质像为何？能否从几何或上同调角度加以刻画？
• RQ3 该理论是否可扩展至包含 $p$-进 Higgs 场 $\phi$ 的情形，使得对 $(E, \phi)$ 能分类 $p$-进表示？
• RQ4 一个向量丛属于 $\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$ 当且仅当其所有不可约分量的度数为零吗？
• RQ5 对于表示 $\rho_E$ 的平展上同调，是否存在 $G_K = \mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$-等变的 Hodge–Tate 分解？

主要发现

• 函子 $\rho$ 是正合的，且与张量运算可交换，因此它是从 $\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$ 到 $\pi_1(\overline{X}, \overline{x})$ 的连续 $\mathbb{C}_p$-表示范畴的良态张量函子。
• 对于 $X_{\mathbb{C}_p}$ 上度数为零的线丛 $L$，表示 $\rho_L$ 与通过 Picard 代数群的 $p$-可除群构造的 Tate 构造一致。
• 在同调群上诱导的映射 $\rho_*$ 与 Hodge–Tate 嵌入 $i_{HT}: H^1(X, \mathcal{O}) \otimes_K \mathbb{C}_p \hookrightarrow H^1_{\text{ét}}(\overline{X}, \mathbb{Q}_p) \otimes_{\mathbb{Q}_p} \mathbb{C}_p$ 一致。
• 对于属于 $\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$ 的向量丛 $E$，其表示 $\rho_E$ 与 $G_K = \mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ 的伽罗瓦作用相容。
• 在具有良好约化的椭圆曲线上，一个向量丛属于 $\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$ 当且仅当其不可约分量的度数为零，这符合 Atiyah 的分类结果。
• 该构造通过秩为二的幂零向量丛，提供了 Hodge–Tate 映射 $i_{HT}$ 的新显式描述，如定理 26 后的注记 1 所述。