[论文解读] Vector bundles on elliptic curve and Sklyanin algebras

Boris Feigin, A. V. Odesskiĭ|ArXiv.org|Sep 20, 1995

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用 45

一句话总结

本文建立了广义 Sklyanin 代数 $Q_{n,k}({\rm E},\tau)$ 与椭圆曲线上向量丛之间的深刻联系，表明这些代数的经典极限的辛叶层由线丛扩张的模空间参数化，具体为 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1} \cong {\rm Mod}(\xi_{0,1};\xi_{n,k})$。关键结果是：在 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 上的哈密顿结构的辛叶层分解与具有固定行列式、稳定性的 $k+1$ 维向量丛的指标分层完全一致，该对应关系通过扩张的模空间实现。

ABSTRACT

In [4] we introduce the associative algebras $Q_{n,k}(\CE,τ)$. Recall the definition. These algebras are labeled by discrete parameters $n,k$; $n,k$ are integers $n>k>0$ and $n$ and $k$ have not common divisors. Then, $\CE$ is an elliptic curve and $τ$ is a point in $\CE$. We identify $\CE$ with $\BC/Γ$, where $Γ$ is a lattice.

研究动机与目标

• 理解广义 Sklyanin 代数 $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$ 的经典极限的辛叶层结构。
• 利用椭圆曲线上向量丛的语言描述 $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$ 的特征流形 ${\rm Ch}_{n,k}$。
• 在 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 上的哈密顿结构的辛叶层与线丛扩张的模空间之间建立几何对应关系。
• 将此对应关系推广至 $sl_r$-型情形下的 Borel 与抛物型丛结构。

提出的方法

• 使用椭圆曲线上向量丛的语言，通过 $n/k$ 的连分数分解来描述特征流形 ${\rm Ch}_{n,k}$。
• 利用 theta 函数和除子 $\Delta_{i,i+1}$ 构造 ${{\cal E}}^{(p)}$ 上的线丛 $\bar{\xi}$，然后通过 $\bar{\xi}$ 将 ${{\cal E}}^{(p)}$ 映射到 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$。
• 将模空间 ${\rm Mod}(\xi_{0,1};\xi_{n,k})$ 识别为 ${{\rm Ext}}^1(\xi_{n,k};\xi_{0,1})$ 的射影化，该空间参数化 $\xi_{n,k}$ 到 $\xi_{0,1}$ 的扩张。
• 通过 $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$ 在 $\tau \to 0$ 时的经典极限定义 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 上的哈密顿结构，证明其为齐次结构，并在射影空间上诱导出相应结构。
• 引入映射 $\theta: N_{n,k} \to {\rm Mod}/{\cal E}$，其中 $N_{n,k}$ 是具有固定行列式的稳定丛空间，证明辛叶层是该映射的纤维。
• 通过 $k+1$ 维丛的旗流形，将该框架推广至 $sl_r$-型代数，其中逐层商同构于 $\xi_{n_i,1}(z_i)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$ 的经典极限的辛叶层如何被几何参数化？
• RQ2 椭圆曲线上向量丛在描述 $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$ 的特征流形 ${\rm Ch}_{n,k}$ 时起什么作用？
• RQ3 ${\rm Mod}(\xi_{0,1};\xi_{n,k})$ 模空间如何与 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 上哈密顿结构的辛叶层分解相关联？
• RQ4 由 $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$ 诱导出的 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 上的辛结构能否提升为行列式线丛的丛结构？
• RQ5 该构造在 $sl_r$-型情形下的抛物型与 Borel 型丛结构中如何推广？

主要发现

• 在 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 上的哈密顿结构的辛叶层与模空间 ${\rm Mod}(\xi_{0,1};\xi_{n,k})$ 的分层之间存在双射关系，且该模空间同构于 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$。
• ${\rm Ch}_{n,k}$ 特征流形被实现为由 theta 函数和除子 $\Delta_{i,i+1}$ 构造的线丛 $\bar{\xi}$ 所诱导的映射 ${{\cal E}}^{(p)} \to {{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 的像。
• ${\rm Mod}(\xi_{0,1};\xi_{n,k})$ 模空间同构于 ${{\rm Ext}}^1(\xi_{n,k};\xi_{0,1})$ 的射影化，其维数为 $n-1$。
• $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$ 的经典极限的辛叶层是映射 $\theta: N_{n,k} \to {\rm Mod}/{\cal E}$ 的纤维，其中 $N_{n,k}$ 是具有固定行列式的稳定 $k+1$-维丛空间。
• 有理映射 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1} \to {\rm Mod}^{s}_{n,k}(z) \cong {{\mathbb{C}}P}^{c-1}$，其中 $c = \gcd(n, k+1)$，被一个次数为 $n/c$ 的正则映射 ${{\mathbb{C}}^n} \to {{\mathbb{C}}^c}$ 覆盖，当目标具有平凡结构时，该映射是哈密顿的。
• $sl_r$-型情形下，$Q_{n,\Gamma}({\cal E},\tau)$ 的经典极限在模空间 $M_{n_1,\ldots,n_{r-1}}$ 上诱导出哈密顿结构，其辛叶层由映射到 ${{\mathbb{C}}^h}$ 的纤维给出，其中 $h = \gcd(r, \sum i n_i)$。