[论文解读] Vector bundles on Symmetric product of curves

D. S. Nagaraj|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文研究了光滑射影曲线 $C$ 的对称积 $C_n$ 上的向量丛，重点在于通过通用除子 $Δ_n \subset C_n \times C$ 构造 $τ_n(E)$。研究结果表明，$τ_2(L)$ 在 $C_2$ 上是稳定的，除非 $L = \mathcal{O}_C(\pm x)$；并证明了当曲线的亏格 $g \geq 2$ 时，$τ_n(E_1) \cong \u03c4_n(E_2)$ 蕴含 $E_1 \cong E_2$，该结果可推广至曲面上的 Hilbert 算子簇。

ABSTRACT

This is a survey article on recent results on vector bundles on symmetric product of non-singular projective curves.

研究动机与目标

• 研究通过通用除子构造于曲线对称积上的向量丛的稳定性与单射性性质。
• 确定构造 $\mathcal{F}_n(E)$ 是否保持稳定性，以及 $\mathcal{F}_n(E_1) \cong \mathcal{F}_n(E_2)$ 是否蕴含 $E_1 \cong E_2$。
• 通过类似构造将 $τ_n(E)$ 的结果推广至曲面上的 Hilbert 算子簇。
• 提供反例以说明稳定性与单射性并非总是成立，并确定其成立的条件。

提出的方法

• 构造 $\mathcal{F}_n(E) = q_*(p_2^*E|_{\Delta_n})$，其中 $\Delta_n \subset C_n \times C$ 是次数为 $n$ 的通用有效除子。
• 利用 $q: \Delta_n \to C_n$ 的有限态射（次数为 $n$）确保 $\mathcal{F}_n(E)$ 是秩为 $n \cdot \text{rank}(E)$ 的向量丛。
• 使用关于 ample 除子 $x + C_{n-1}$ 的斜率 $\mu_H(V) = \text{degree}_H(V)/\text{rank}(V)$ 分析稳定性。
• 应用 Riemann-Roch 与同调技术，通过 $p^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2) \otimes q^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)$ 的截面的零点集，计算 $\mathcal{F}_2(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(m))$ 在 $\mathbb{P}^2$ 上的值。
• 利用 [BN1]、[BN2]、[BP] 和 [BN3] 中的已知结果，建立在亏格 $g \geq 2$ 下 $\mathcal{F}_n$ 对稳定丛的单射性。
• 将构造推广至曲面上的 Hilbert 算子簇 $\text{Hilb}_n(S)$，并类似地定义 $\mathcal{H}_n(E)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 曲线 $C$ 上的向量丛 $E$ 的稳定性是否蕴含 $C_n$ 上 $\mathcal{F}_n(E)$ 的稳定性？
• RQ2 若 $\mathcal{F}_n(E_1) \cong \mathcal{F}_n(E_2)$ 在 $C_n$ 上成立，是否可推出 $E_1 \cong E_2$ 在 $C$ 上成立？
• RQ3 在何种条件下，$\mathcal{F}_2(L)$ 对于曲线 $C$ 上的线丛 $L$ 是稳定的？
• RQ4 $\mathcal{F}_n(E)$ 的单射性结果能否推广至高维代数簇（如曲面）？
• RQ5 Harder-Narasimhan 分次滤子如何影响 $\mathcal{F}_n$ 的单射性？

主要发现

• 对于任意非平凡线丛 $L$，$\mathcal{F}_2(L)$ 在 $C_2$ 上是半稳定的。
• 当 $L \cong \mathcal{O}_C(\pm x)$ 对某个点 $x \in C$ 成立时，$\mathcal{F}_2(L)$ 在 $C_2$ 上不是稳定的；否则，$\mathcal{F}_2(L)$ 是稳定的。
• 当 $C = \mathbb{P}^1$ 时，有 $\mathcal{F}_2(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1)) \cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}$，$\mathcal{F}_2(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1)) \cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-1)^{\oplus 2}$，且 $\mathcal{F}_2(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}) \cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-1)$。
• 存在非同构的丛 $E$ 与 $F$ 在 $\mathbb{P}^1$ 上，例如 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}^{\oplus 2m}$ 与 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1)^{\oplus m} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1)^{\oplus m}$，使得 $\mathcal{F}_2(E) \cong \mathcal{F}_2(F)$，表明一般情况下单射性不成立。
• 对于亏格 $g \geq 2$ 的曲线 $C$ 上的稳定丛 $E_1, E_2$，若 $\mathcal{F}_n(E_1) \cong \mathcal{F}_n(E_2)$ 在 $C_n$ 上成立，则必有 $E_1 \cong E_2$ 在 $C$ 上成立。
• 该结果可推广至曲面：若 $\mathcal{H}_n(E_1) \cong \mathcal{H}_n(E_2)$ 在 $\text{Hilb}_n(S)$ 上成立，则必有 $E_1 \cong E_2$ 在 $S$ 上成立。