[论文解读] Vector partition function and generalized Dahmen-Micchelli spaces

Corrado De Concini, Claudio Procesi+1 more|ArXiv.org|May 19, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 19

一句话总结

本文引入了广义的Dahmen-Micchelli空间 $\mathcal{F}(X)$，即定义在格点上的函数空间，该空间推广了经典解差分方程的 quasi-多项式空间 $DM(X)$。本文建立了 $\mathcal{F}(X)$ 中函数的局部化公式，证明了向量分拆函数 $\mathcal{P}_X$ 在区域 $\mathfrak{c} - B(X)$ 上为拟多项式，其中 $\mathfrak{c}$ 为大胞腔，$B(X)$ 为由 $X$ 生成的zonotope，并由此推导出Paradan的墙穿跃公式。

ABSTRACT

This is the first of two papers on partition functions and the index theory of transversally elliptic operators. In this paper we only discuss algebraic and combinatorial issues related to partition functions. The applications to index theory will appear in a subsequent paper.

研究动机与目标

• 定义并研究格点上函数的广义空间 $\mathcal{F}(X)$，该空间推广了经典解差分方程的 $DM(X)$ 空间。
• 为 $\mathcal{F}(X)$ 中的函数建立局部化公式，从而实现对分拆函数 $\mathcal{P}_X$ 的显式分解。
• 证明向量分拆函数 $\mathcal{P}_X$ 在区域 $\mathfrak{c} - B(X)$ 上为拟多项式，其中 $\mathfrak{c}$ 为大胞腔，$B(X)$ 为 $X$ 的 zonotope。
• 推导出分拆函数的拟多项式分量 $\mathcal{P}_X^\mathfrak{c}$ 的 Paradan 墙穿跃公式。

提出的方法

• 将 $\mathcal{F}(X)$ 定义为满足 $\nabla_{X\setminus\underline{r}}f$ 在每个有理子空间 $\underline{r}$ 上具有紧支集的函数 $f$ 的空间。
• 引入形式幂级数 $\Theta(f) = \sum_{\gamma \in \Gamma} f(\gamma) e^{\gamma}$，将格点 $\Gamma$ 上的函数表示为环面 $G$ 上的傅里叶级数。
• 利用卷积与平移算子 $T_{X\setminus\underline{r}}^{F_{\underline{r}}}$，通过 $X$-正则族 $\mathbf{F}$ 对 $G(X)$ 中的函数进行分解。
• 定义投影算子 $\pi_X^{\underline{r},F_{\underline{r}}}$，将 $f \in G(X)$ 投影到在 $\underline{r} + C(F_{\underline{r}}, X\setminus\underline{r})$ 上有支集的分量上。
• 应用局部化定理，证明在胞腔 $\tau$ 上，$f \in G(X)$ 与多项式密度 $f^\tau \in D(X)$ 一致。
• 通过比较跨越有理超平面 $H$ 的多项式密度 $f^{\tau_1} - f^{\tau_2}$，利用平移算子之差 $T_{X\setminus H}^{F_H} - T_{X\setminus H}^{-F_H}$ 推导出墙穿跃公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将解差分方程的函数空间推广，以允许非 pointed 锥与非正则配置？
• RQ2 向量分拆函数 $\mathcal{P}_X$ 在区域 $\mathfrak{c} - B(X)$ 上的结构是什么？为何其在此处为拟多项式？
• RQ3 能否为 $\mathcal{F}(X)$ 中的函数构造一个局部化公式，将其分解为在有理子空间上有支集的分量？
• RQ4 拟多项式分量 $\mathcal{P}_X^\mathfrak{c}$ 在相邻大胞腔之间如何变化？墙穿跃公式是什么？
• RQ5 广义Dahmen-Micchelli空间 $\mathcal{F}(X)$ 与横截椭圆算子的指标理论之间有何关系？

主要发现

• 空间 $\mathcal{F}(X)$ 同时包含分拆函数 $\mathcal{P}_X$ 与经典 $DM(X)$ 空间，其定义基于差分算子 $\nabla_{X\setminus\underline{r}}$ 的支集条件。
• 为任意 $f \in \mathcal{F}(X)$ 建立了局部化公式，使得函数可分解为在有理子空间 $\underline{r}$ 上有支集的分量。
• 分拆函数 $\mathcal{P}_X$ 在每个区域 $\mathfrak{c} - B(X)$ 上为拟多项式，其中 $\mathfrak{c}$ 为大胞腔，$B(X)$ 为 $X$ 的 zonotope。
• 该分解蕴含了 $\mathcal{P}_X^\mathfrak{c}$ 的 Paradan 墙穿跃公式，其通过跨越超平面的差分算子推导得出。
• 在胞腔 $\tau$ 上的多项式密度 $f^\tau$ 是 $f \in G(X)$ 中唯一与 $f$ 在 $\tau$ 上一致的分量，其通过与平移算子的卷积构造而成。
• 墙穿跃公式 $f^{\tau_1} - f^{\tau_2} = (T_{X\setminus H}^{F_H} - T_{X\setminus H}^{-F_H}) * (\partial_{X\setminus H}f)^{\tau_{12}}$ 对一般 $f \in G(X)$ 成立，并在 pointed 锥情形下退化为 Khovanskii-Pukhlikov 公式。