[论文解读] Vector rearrangement invariant banach spaces of random variables with exponential decreasing tails of distributions

Eugeny Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 9被引用 17

一句话总结

本文将具有指数尾部的向量重排不变Banach空间的理论从单变量推广至多变量情形，通过Young-Fenchel对偶性建立了$ B(\phi) $范数与广义Lebesgue空间（GLS）范数之间的等价性。研究证明，对于中心化的多变量随机向量，$ B(\phi) $范数等价于由$ N_{\phi}(\vec{u}) = \exp(\phi^*(\vec{u})) - \exp(\phi^*(0)) $定义的Orlicz范数，并利用多变量Bernstein定理与Fenchel-Moraux定理推导出非渐近的指数尾部界。

ABSTRACT

We present in this paper the theory of multivariate Banach spaces of random variables with exponential decreasing tails of distributions.

研究动机与目标

• 将具有指数尾部的重排不变Banach空间理论从单变量推广至多变量随机向量。
• 建立中心化随机向量的$ B(\phi) $范数与广义Lebesgue空间（GLS）范数之间的等价性。
• 通过矩生成函数与凸共轭刻画与随机向量相关的自然函数$ \phi $。
• 利用多变量矩方法，推导i.i.d.随机向量和的非渐近指数尾部估计。

提出的方法

• 通过条件$ \mathbb{E}\exp(\pm \lambda \cdot \xi) \leq \exp(\phi(\lambda \tau)) $对所有$ \lambda \in (-\lambda_0, \lambda_0)^d $，定义中心化$ d $维随机向量的$ B(\phi) $空间。
• 引入广义Lebesgue空间范数$ \|\xi\|_{G(\psi)} = \sup_{p \geq 1} \left[ \mathbb{E}|\xi|^p \right]^{1/p} / \psi(p) $，其中$ \psi(p) = p / \phi^{-1}(p) $。
• 利用Young-Fenchel变换$ \phi^* $定义Orlicz范数，形式为$ N_{\phi}(\vec{u}) = \exp(\phi^*(\vec{u})) - \exp(\phi^*(0)) $。
• 通过对偶性与鞍点法，证明$ \|\cdot\|_{B(\phi)} $、$ \|\cdot\|_{G(\psi)} $与$ \|\cdot\|_{L(N_{\phi})} $之间的等价性。
• 应用Fenchel-Moraux定理$ \phi^{**} = \phi $以验证对偶结构的合理性。
• 通过Chernov型估计与多变量Bernstein定理推导尾部界，证明$ \sup_n U(S(n), \vec{x}) \geq \max\left( U(\vec{\xi}, \vec{x}), \exp(-C(Q)|x|^2) \right) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，多变量随机向量的矩生成函数可表示为$ \exp(\phi(\lambda)) $，其中$ \phi $为凸、偶、二次连续可微函数？
• RQ2 在多变量情形下，$ B(\phi) $、GLS与Orlicz范数之间有何关系？它们是否等价？
• RQ3 能否利用多变量矩生成函数与凸共轭，推导i.i.d.随机向量和的非渐近指数尾部界？
• RQ4 自然函数$ \phi_0(\lambda) = \max_{\pm} \log \sup_{t} \mathbb{E}\exp(\pm \lambda \xi(t)) $在刻画随机场尾部行为中起何作用？
• RQ5 尽管范数等价，为何Rosenthal型矩不等式无法给出最优尾部界？

主要发现

• 中心化$ d $维随机向量的$ B(\phi) $范数与广义Lebesgue空间范数$ \|\xi\|_{G(\psi)} $等价，其中$ \psi(p) = p / \phi^{-1}(p) $，且等价常数$ C_1, C_2 $仅依赖于$ \phi $与$ d $。
• 中心化$ d $维随机向量的$ B(\phi) $范数与Orlicz范数$ \|\xi\|_{L(N_{\phi})} $等价，其中$ N_{\phi}(\vec{u}) = \exp(\phi^*(\vec{u})) - \exp(\phi^*(0)) $，且等价常数$ C_5, C_6 $依赖于$ d $与$ \phi $。
• 对于满足$ U(\vec{\xi}, \vec{x}) \leq \exp(-|\vec{x}|^p) $的i.i.d.中心化随机向量，归一化和的尾部上确界满足：当$ |\vec{x}| \geq 1 $时，有$ \sup_n U(S(n), \vec{x}) \leq \exp(-C(d,p) |\vec{x}|^{\min(p,2)}) $，且该界为最优。
• 随机向量的自然函数$ \phi_0(\lambda) $恒为绝对偶函数，即对所有$ \epsilon \in \{\pm 1\}^d $，有$ \phi_0(\epsilon \otimes \vec{x}) = \phi_0(\vec{x}) $。
• 与随机向量关联的函数$ \phi $必须满足$ \phi^{**} = \phi $，以确保Young-Fenchel变换下对偶结构的保持。
• Rosenthal不等式无法给出最优界的原因在于其常数$ R(p) \asymp p / \log p $随$ p \to \infty $发散，而基于$ B(\phi) $的估计则无此问题。