[论文解读] Vector Valued and Scalar Valued Modular Forms

Yichao Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文在判别形式的自同构群下不变的向量值模形式与满足ε-条件的标量值模形式之间建立了同构关系，将博赫尔斯的障碍结果转化为标量值形式。关键贡献在于一种结构对应关系，使得通过实二次域的维勒表示，可将经典模形式理论应用于向量值形式。

ABSTRACT

In this note, we consider discriminant forms that are given by the norm form of real quadratic fields and their induced Weil representations. We prove that there exists an isomorphism between the space of vector-valued modular forms for the Weil representations that are invariant under the action of the automorphism group and the space of scalar-valued modular forms that satisfy some epsilon-condition, with which we translate Borcherds's theorem of obstructions to scalar-valued modular forms. In the end, we consider an example in the case of level 12.

研究动机与目标

• 研究由实二次域诱导的韦尔表示的向量值模形式的结构。
• 确定此类向量值模形式在判别形式的自同构群下不变的条件。
• 在这些不变的向量值模形式与满足ε-条件的标量值模形式之间建立对应关系。
• 将此前针对向量值模形式表述的博赫尔斯障碍定理，转化为标量值模形式的框架。
• 通过12级的具体例子说明理论。

提出的方法

• 利用实二次域的范数形式定义判别形式。
• 从这些判别形式构造相应的韦尔表示。
• 在向量值模形式空间上施加对判别形式自同构群的不变性条件。
• 在标量值模形式上引入ε-条件，以对应向量值情形中的不变性条件。
• 在不变的向量值模形式与满足ε-条件的标量值模形式之间建立双射对应关系（同构）。
• 应用该同构，将博赫尔斯的障碍结果重新解释为标量值模形式的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由韦尔表示给出的向量值模形式在判别形式的自同构群下不变？
• RQ2 如何将博赫尔斯针对向量值模形式的障碍定理，重新表述为标量值模形式的形式？
• RQ3 是否存在一种自然对应关系，将不变的向量值模形式与满足特定ε-条件的标量值模形式联系起来？
• RQ4 与实二次域的范数形式相关的韦尔表示在此对应关系中起什么作用？
• RQ5 在具体情形（如12级）下，该同构如何表现？

主要发现

• 在判别形式的自同构群下不变的向量值模形式空间与满足ε-条件的标量值模形式空间之间存在同构关系。
• ε-条件是向量值情形中不变性条件的精确类比，使得障碍结果的传递成为可能。
• 博赫尔斯针对向量值模形式的障碍定理现在可表达为标量值模形式的形式，从而简化了其应用。
• 该对应关系通过实二次域的范数形式诱导的韦尔表示显式构造。
• 在12级的情形下，同构提供了该对应关系的具体实现，展示了其在非平凡例子中的实用性。
• 该方法使得深奥的向量值情形结果可被转化为更易处理的标量值框架。