[论文解读] Vector-valued Lagrange interpolation and mean convergence of Hermite series

Hermann König|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 1992

Approximation Theory and Sequence Spaces被引用 14

一句话总结

本论文在巴拿赫空间中建立了基于埃尔米特多项式节点的向量值Marcinkiewicz-Zygmund插值不等式，证明了拉格朗日插值多项式的均值收敛性在$L_p(\mathbb{R}; X)$-范数下成立当且仅当$X$是UMD空间且$1 < p < 4$。其主要贡献在于将Nevai与Askey-Wainger的标量结果推广至向量值情形，并精确刻画了$p$-范围的依赖关系。

ABSTRACT

Let X be a Banach space and $1\le p

研究动机与目标

• 使用埃尔米特节点和高斯求积权重，建立$X$-值多项式上的Marcinkiewicz-Zygmund型插值不等式。
• 确定在$L_p(\mathbb{R}; X)$-范数下拉格朗日插值多项式均值收敛性的精确$p$范围及巴拿赫空间$X$的条件。
• 将Nevai与Askey-Wainger关于埃尔米特级数均值收敛性的标量结果推广至向量值情形。
• 刻画当$4/3 < p < 4$时，$L_p$-范数收敛性对UMD性质的必要性。

提出的方法

• 推导$X$-值多项式$q$（次数$\leq n$）的Marcinkiewicz-Zygmund型插值不等式，将$q(t)e^{-t^2/2}$的$L_p$-范数与埃尔米特节点$t_j$上的加权和联系起来。
• 定义权重$\mu_j = \lambda_j e^{t_j^2}$，其中$\lambda_j$为埃尔米特测度下的高斯求积权重，并在离散和中使用这些权重。
• 利用$L_p(\mathbb{R}; X)$上希尔伯特变换有界性来刻画UMD空间，并将其应用于证明收敛性结果。
• 应用对偶性与巴拿赫-斯坦豪斯定理反向推导不等式，从而推断出若收敛性成立，则$X$必为UMD空间。
• 利用Skovgaard公式与埃尔米特函数的渐近估计，推导算子范数的下界，证明当$p > 4$时收敛性不成立。
• 通过将加权希尔伯特变换在$L_p(\mathbb{R}; X)$上的有界性推广至$4/3 < p < 4$，将Askey-Wainger的标量证明推广至向量值情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些$p$和巴拿赫空间$X$，在连续函数情形下，埃尔米特节点处的拉格朗日插值算子在$L_p(\mathbb{R}; X)$-范数下收敛？
• RQ2 在向量值情形下，埃尔米特插值均值收敛性的最优$p$范围为何？
• RQ3 对于$1 < p < 4$，UMD性质是否为$L_p(\mathbb{R}; X)$中埃尔米特插值均值收敛性的充要条件？
• RQ4 Nevai与Askey-Wainger的标量均值收敛结果能否推广至具有精确$p$-依赖性的$X$-值函数情形？

主要发现

• 右端Marcinkiewicz-Zygmund不等式对$X$-值多项式成立当且仅当$X$是UMD空间且$1 < p < 4$。
• 当$4/3 < p \leq \infty$时，若$X$是UMD空间，则离散和控制$L_p$-范数，从而保证插值算子的收敛性。
• 当$1 < p < 4$且$f$衰减如$|t|^{-\alpha}e^{t^2/2}$（$\alpha > 1/p$）时，插值多项式$I_n f$在$L_p(\mathbb{R}; X)$-范数下收敛于$f$，该结果改进了Nevai的标量结果。
• 当$p > 4$时，收敛性一般不成立，即使对于连续函数$f \in C(\mathbb{R}) \cap L_p(\mathbb{R}; e^{-t^2/2})$，原因在于插值算子无界。
• 通过使用对偶性与一致有界性原理，证明了当$4/3 < p < 4$时，$L_p(\mathbb{R}; X)$中收敛性要求$X$为UMD空间，即该性质是必要的。
• 埃尔米特级数部分和$P_n f$在$L_p(\mathbb{R}; X)$中的收敛性证明依赖于$4/3 < p < 4$时加权希尔伯特变换在$L_p(\mathbb{R}; X)$上的有界性。