[论文解读] Vector-valued Littewood-Paley-Stein theory for semigroups II

Quanhua Xu|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 25被引用 10

一句话总结

该论文通过为对称扩散半群及其离散类比建立精确不等式，解决了向量值Littlewood-Paley-Stein理论中长期存在的开放问题。通过新颖地改编Hyt{"o}nen与Naor的方法，证明了对称马尔可夫算子 $T$ 到 $L_p(\Omega;X)$ 的延拓在所有 $1 < p < \infty$ 及一致凸的巴拿赫空间 $X$ 下是解析的，并基于鞅型与型性质建立了半群高阶导数的 $L_p$ 估计。

ABSTRACT

Inspired by a recent work of Hytönen and Naor, we solve a problem left open in our previous work joint with Mart\'ınez and Torrea on the vector-valued Littlewood-Paley-Stein theory for symmetric diffusion semigroups. We prove a similar result in the discrete case, namely, for any $T$ which is the square of a symmetric Markovian operator on a measure space $(Ω, μ)$. Moreover, we show that $T\otimes{ m Id}_X$ extends to an analytic contraction on $L_p(Ω; X)$ for any $1

研究动机与目标

• 解决向量值Littlewood-Paley-Stein理论中的一个开放问题，即斯坦不等式是否对原始对称扩散半群 $\{T_t\}_{t>0}$ 而非其次级化的泊松半群成立。
• 将理论推广至离散情形，证明在测度空间上为对称马尔可夫算子平方的算子 $T$ 的类似不等式。
• 证明 $T \otimes \mathrm{Id}_X$ 延拓为 $L_p(\Omega;X)$ 上的解析收缩算子，对所有 $1 < p < \infty$ 及任意一致凸巴拿赫空间 $X$ 成立。
• 以目标巴拿赫空间 $X$ 的鞅型与型性质表征平方函数 $\left(\int_0^\infty \|t^k \partial^k T_t f\|_X^q \frac{dt}{t}\right)^{1/q}$ 的有界性。

提出的方法

• 将Hyt{"o}nen与Naor近期关于利普希茨逼近工作的关键思想适配至向量值情形及离散情形。
• 应用斯坦的复插值工具，利用文献[15]中关键引理的离散类比，将端点情形的估计扩展至整个范围 $1 < p < \infty$。
• 利用自伴收缩算子的谱理论及Katznelson-Tzafriri定理，在谱条件下建立 $T$ 在 $L_p(\Omega;X)$ 上的解析性。
• 将离散平方函数 $\left(\sum_{n=1}^\infty n^{q-1} \| (T^n - T^{n-1})f \|_X^q \right)^{1/q}$ 作为Littlewood-Paley-Stein不等式中连续平方函数的离散类比。
• 依赖于鞅型 $q$ 与型 $q'$ 之间的对偶性，并利用 $X$ 为鞅型 $q$ 当且仅当 $X^*$ 为鞅型 $q'$ 的事实。
• 应用复插值，将解析性结果从希尔伯特空间目标推广至希尔伯特空间与其他UMD空间之间的复插值空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 向量值Littlewood-Paley-Stein不等式是否对原始对称扩散半群 $\{T_t\}_{t>0}$ 成立，而不仅限于其泊松次级化版本，且适用于一般巴拿赫空间目标？
• RQ2 该理论能否推广至离散情形，特别是针对为对称马尔可夫算子平方的算子 $T$，并以鞅型与型性质表征精确的 $L_p$ 估计？
• RQ3 当 $X$ 为一致凸巴拿赫空间时，对称马尔可夫算子 $T$ 到 $L_p(\Omega;X)$ 的延拓是否对所有 $1 < p < \infty$ 解析？
• RQ4 离散平方函数 $\left(\sum_{n=1}^\infty n^{q-1} \| (T^n - T^{n-1})f \|_X^q \right)^{1/q}$ 是否满足与 $\|f\|_{L_p(\Omega;X)}$ 等价的 $L_p$-有界性不等式，当 $X$ 为鞅型 $q$ 时？
• RQ5 结果能否推广至 $K$-凸巴拿赫空间目标或UMD空间，特别是在离散情形下？

主要发现

• 论文证明，对任意一致凸巴拿赫空间 $X$，算子 $T \otimes \mathrm{Id}_X$ 延拓为 $L_p(\Omega;X)$ 上的解析收缩算子，对所有 $1 < p < \infty$ 成立，从而解决了关键的解析性问题。
• 对任意 $1 < p < \infty$ 及 $X$ 为鞅型 $q$（$2 \leq q < \infty$）的情形，不等式 $\left\| \left( \int_0^\infty \| t^k \partial^k T_t f \|_X^q \frac{dt}{t} \right)^{1/q} \right\|_{L_p(\Omega)} \leq C \|f\|_{L_p(\Omega;X)}$ 成立，其中常数 $C$ 仅依赖于 $p$、$q$、$k$ 及 $X$ 的型常数。
• 在离散情形下，当 $T$ 为对称马尔可夫算子的平方且 $X$ 为鞅型 $q$ 时，对所有 $1 < p < \infty$，不等式 $\left\| \left( \sum_{n=1}^\infty n^{q-1} \| (T^n - T^{n-1})f \|_X^q \right)^{1/q} \right\|_{L_p(\Omega)} \lesssim \|f\|_{L_p(\Omega;X)}$ 成立，隐含常数仅依赖于 $p$、$q$ 及型常数。
• 论文证明，通过复插值，离散平方函数不等式可推出相应的连续情形，反之亦然，使用了文献[15]中关键引理的离散类比。
• 当 $X$ 为希尔伯特空间与其他UMD空间之间的复插值空间时，通过斯坦插值及Katznelson-Tzafriri定理，证明了算子 $T$ 在 $L_p(\Omega;X)$ 上对所有 $1 < p < \infty$ 解析。
• 论文指出结果是否可推广至 $K$-凸目标或UMD空间尚属开放问题，但为这类推广提供了框架，尤其在离散情形下。