[论文解读] Veech surfaces associated with rational billiards

Samuel Lelièvre|ArXiv.org|May 23, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文通过展开构造分析 billiard 流的动态性质，对产生 Veech 曲面（具有大 Veech 群的 translation 曲面）的有理 billiard 进行分类。结果表明，格子性质（有限体积的 Veech 群）仅在特定类型的三角形中成立：最小角为 π/n（n≥4）的直角三角形，顶角为 π/n（n≥3）的锐角等腰三角形，以及某些特殊的锐角不等边三角形和钝角不等边三角形，且通过三角形群记号明确给出了对应的 Veech 群。

ABSTRACT

A nice trick for studying the billiard flow in a rational polygon is to unfold the polygon along the trajectories. This gives rise to a translation or half-translation surface tiled by the original polygon, or equivalently an Abelian or quadratic differential. Veech surfaces are a special class of translation surfaces with a large group of affine automorphisms, and interesting dynamical properties. The first examples of Veech surfaces came from rational billiards. We first present the mathematical objects and fix some vocabulary and notation. Then we review known results about Veech surfaces arising from rational billiards. The interested reader will find annex tables on the author's web page.

研究动机与目标

• 对有理多边形，特别是三角形，进行分类，以通过 billiard 展开产生 Veech 曲面。
• 确定哪些有理 billiard 具有格子性质，该性质意味着通过 Veech 对偶性可获得强遍历动力学。
• 表征由有理 billiard 产生的 translation 曲面的 Veech 群，特别是针对三角形的情况。
• 解决锐角、钝角和直角三角形作为格子例子的状态，包括特殊情况。

提出的方法

• 使用展开构造将有理多边形中的 billiard 轨道转化为 translation 或 half-translation 曲面上的直线流。
• 应用 translation 曲面与阿贝尔微分之间的对应关系，以及 half-translation 曲面与二次微分之间的对应关系。
• 将 Veech 群作为 PSL(2,R) 的子群，以分析动力学并分类具有有限体积的曲面。
• 使用三角形群记号 Δ(p,q,r) 描述相关曲面的 Veech 群。
• 利用角度上的几何与算术条件（以 π 为单位）来确定 Veech 群为格子的时刻。
• 利用 Gutkin 与 Judge、Kenyon 与 Smillie、Vorobets 以及 Ward 的结果，建立必要与充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有理三角形会产生具有有限体积 Veech 群的 Veech 曲面？
• RQ2 从有理 billiard 衍生出的 translation 曲面的 Veech 群的精确结构是什么？
• RQ3 对于哪些锐角不等边三角形满足格子性质，其 Veech 群是什么？
• RQ4 在何种条件下钝角三角形会产生 Veech 曲面，其与锐角或直角三角形有何不同？
• RQ5 在每个亏格中，此类 Veech 曲面是否仅有有限多个，还是可通过新构造产生无限族？

主要发现

• 与有理 billiard 关联的 translation 曲面是 Veech 曲面，当且仅当其 Veech 群在 PSL(2,R) 中具有有限体积，这蕴含 Veech 对偶性：在每个方向上，流要么是周期性的，要么是唯一遍历的。
• 直角三角形具有格子性质，当且仅当其最小角为 π/n（n 为整数且 n≥4），若 n 为奇数，则 Veech 群为 Δ(2,n,∞)；若 n=2m，则为 Δ(m,∞,∞)。
• 锐角等腰三角形具有格子性质，当且仅当其顶角为 π/n（n≥3），当 n≥4 时，Veech 群为 Δ(n,∞,∞)。
• 在锐角不等边三角形中，仅有三个例子满足格子性质：T(3,4,5)、T(3,4,5) 和 T(2,3,4)，其 Veech 群分别为 Δ(9,∞,∞)、Δ(6,∞,∞) 和 Δ(15,∞,∞)。
• 顶角为 π/n（n≥5）的钝角等腰三角形具有格子性质，若 n 为奇数，则 Veech 群为 Δ(2,n,∞)；若 n=2m，则为 Δ(m,∞,∞)，但若顶点被标记，则该性质消失。
• 对于钝角不等边三角形，三角形 (π/2n, π/n, (2n−3)π/2n) 具有格子性质，其 Veech 群为 Δ(3,n,∞)（n≥4），而 T(1,3,8) 和 T(2,3,7) 不满足。