[论文解读] Velocity‑vorticity‑pressure formulation for the Oseen problem with variable viscosity

Verónica Anaya, Rubén Caraballo+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2022

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 57被引用 14

一句话总结

本文提出了一种针对变粘度 Oseen 问题的新型速度-涡量-压力混合有限元格式，采用最小二乘法稳定化处理非恒定粘度和对流项。该方法确保了任意 Stokes 兼容的速度-压力配对与任意阶涡量空间下的 inf-sup 稳定性，实现了最优收敛率和在自适应网格加密下的鲁棒性能，通过包括复杂几何形状和变粘度场在内的数值实验得到验证。

ABSTRACT

We propose and analyse an augmented mixed finite element method for the Oseen equations written in terms of velocity, vorticity, and pressure with non-constant viscosity and homogeneous Dirichlet boundary condition for the velocity. The weak formulation includes least-squares terms arising from the constitutive equation and from the incompressibility condition, and we show that it satisfies the hypotheses of the Babuška-Brezzi theory. Repeating the arguments of the continuous analysis, the stability and solvability of the discrete problem are established. The method is suited for any Stokes inf-sup stable finite element pair for velocity and pressure, while for vorticity any generic discrete space (of arbitrary order) can be used. A priori and a posteriori error estimates are derived using two specific families of discrete subspaces. Finally, we provide a set of numerical tests illustrating the behaviour of the scheme, verifying the theoretical convergence rates, and showing the performance of the adaptive algorithm guided by residual a posteriori error estimation

研究动机与目标

• 为变粘度 Oseen 问题开发一种稳定且收敛的混合有限元方法，其中由于粘度非恒定，标准涡量格式失效。
• 将先前用于 Brinkman 和 Stokes 方程的增强混合格式扩展至含对流项和变粘度的 Oseen 问题。
• 利用 Babuška-Brezzi 理论确保离散问题的稳定性和可解性，即使粘度在空间上变化。
• 为两类有限元子空间推导先验和后验误差估计，支持自适应加密策略。

提出的方法

• 以速度、涡量和压力表示 Oseen 问题，通过本构方程和不可压缩条件引入最小二乘项，以稳定变分格式。
• 采用基于强形式导出的稳定化项的增强混合有限元方法，确保与混合方法的 Babuška-Brezzi 理论兼容。
• 采用包含由动量平衡旋度导出的涡量方程的弱格式，通过形变率张量 ε(u) = 1/2(∇u + ∇u^T) 适配变粘度。
• 应用伽辽金最小二乘法稳定系统，尤其解决变粘度和对流项 (β·∇)u 带来的挑战。
• 使用基于残差的后验误差估计器驱动自适应网格加密，聚焦于高误差区域，如回角或边界层。
• 采用由误差指示器引导的蓝绿加密策略，在奇异性或陡峭梯度存在时仍实现最优收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于速度、涡量和压力作为主要变量，构建一种针对变粘度 Oseen 问题的稳定且收敛的混合有限元方法？
• RQ2 如何将标准涡量格式扩展以处理非恒定粘度情形，此时恒等式 curl(curl v) = −Δv + ∇(div v) 不再直接适用？
• RQ3 何种稳定化技术可确保在粘度空间变化且存在对流项时的 inf-sup 稳定性和最优收敛率？
• RQ4 后验误差估计能否有效引导自适应网格加密，以在 L 形域等奇异性区域恢复最优收敛率？
• RQ5 该方法在真实复杂几何（如患者特异性主动脉弓模型）中的变粘度条件下表现如何？

主要发现

• 所提出的增强混合有限元方法对任意 Stokes 稳定的速度-压力配对和任意阶涡量逼近均满足 inf-sup 条件，确保离散问题的唯一可解性。
• 先验误差估计证实所有变量均达到最优收敛率：速度在 H1 范数下，涡量在 L2 范数下，压力在 L2 范数下，且在结构化与非结构化网格上均得到验证。
• 后验误差估计器的效应性指数接近 1（约 1.12–1.16），表明误差估计可靠且自适应有效。
• 自适应网格加密在含回角的 L 形域中成功恢复了最优收敛率，而均匀加密因奇异性导致收敛率次优。
• 在 3D 主动脉弓模拟中，该方法成功捕捉了边界层和涡量结构等复杂流动特征，自适应加密将单元集中在降主动脉和血管壁附近，证实了其在真实血流动力学应用中的鲁棒性。