[论文解读] Veronese quotient models of $\bar{M}_{0,n}$ and conformal blocks

Angela Gibney, David Jensen+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文建立了 $\overline{M}_{0,n}$ 的 Veronese 商紧化与共形场论中除子之间的深刻联系，证明了某些 Veronese 商态射的拉回为共形块除子。关键贡献在于给出了这些除子与 $F$-曲线相交的公式，从而系统地描述了 $\overline{M}_{0,n}$ 的 nef 锥，并通过共形块为一族 Veronese 商提供了新的模解释。

ABSTRACT

The moduli space $\bar{M}_{0,n}$ of Deligne-Mumford stable n-pointed rational curves admits morphisms to spaces recently constructed by Giansiracusa, Jensen, and Moon that we call Veronese quotients. We study divisors on $\bar{M}_{0,n}$ associated to these maps and show that these divisors arise as first Chern classes of vector bundles of conformal blocks.

研究动机与目标

• 建立 $\overline{M}_{0,n}$ 的 Veronese 商模型与共形场论中除子之间的对应关系。
• 为特定一族 Veronese 商 $V^{g+1-\ell}_{\frac{\ell-1}{\ell+1},(\frac{1}{\ell+1})^{2g+2}}$ 提供新的模解释。
• 计算所有 Veronese 商除子 $\mathcal{D}_{\gamma,A}$ 与 $\overline{M}_{0,n}$ 上 $F$-曲线的相交数，从而描述其在 Néron-Severi 群中的类。
• 证明类型 A 的非平凡共形块除子可作为这些 Veronese 商上正则类的拉回。
• 推测类型 A 的共形块除子在正权重下可分离 $\operatorname{M}_{0,n}$ 上的点，从而意味着相关态射在内部为同构，并可进行组合描述。

提出的方法

• 利用稳定曲线与加权标记有理曲线的几何，推导 Veronese 商除子 $\mathcal{D}_{\gamma,A}$ 与 $F$-曲线相交的一般公式。
• 利用 Veronese 商的模解释，通过 $\overline{M}_{0,n}$ 上的有理态射拉回，将它们的自然极化与共形块除子联系起来。
• 应用几何不变理论（GIT）的结果，分析 Veronese 商 $V^d_{\gamma,A}$ 及其从 $\overline{M}_{0,n}$ 导出的态射结构。
• 利用 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上共形块向量丛的全局生成性与半正则性，研究其在 $\overline{M}_{0,n}$ 上的第一陈类。
• 利用共形块在曲线粘合下的分解性质，分析 $\overline{M}_{0,n}$ 边界子簇上除子的行为。
• 构造显式例子并验证 Veronese 商与共形块除子之间的对应关系，包括 $\mathbb{D}(\mathfrak{sl}_2,\ell,\omega_1^{2g+2})$ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 Veronese 商模型 $V^{g+1-\ell}_{\frac{\ell-1}{\ell+1},(\frac{1}{\ell+1})^{2g+2}}$ 是否能通过加权点与次数约束的稳定曲线获得新的模解释？
• RQ2 所有 $\overline{M}_{0,n}$ 上的 Veronese 商除子 $\mathcal{D}_{\gamma,A}$ 是否都能表示为 Veronese 商上正则线丛的拉回？其与 $F$-曲线的相交数为何？
• RQ3 Veronese 商产生的除子与共形场论中除子之间是否存在普遍对应关系，特别是对于类型 A 的李代数？
• RQ4 非平凡的类型 A 共形块除子在正权重下是否可分离 $\operatorname{M}_{0,n}$ 上的点，从而确保相关态射在内部为同构？
• RQ5 如共形块态射的行为所示，$\overline{M}_{0,n}$ 的双有理几何是否能通过遗忘分量与边界子簇上点的组合数据完全描述？

主要发现

• 本文给出了 Veronese 商除子 $\mathcal{D}_{\gamma,A}$ 与 $F$-曲线相交的一般公式（定理 3.1），该公式完全确定了其在 $\overline{M}_{0,n}$ 的 Néron-Severi 群中的类。
• 非平凡的共形块除子 $\mathbb{D}(\mathfrak{sl}_2,\ell,\omega_1^{2g+2})$ 被证明是 Veronese 商 $V^{g+1-\ell}_{\frac{\ell-1}{\ell+1},(\frac{1}{\ell+1})^{2g+2}}$ 上正则类的拉回，建立了 GIT 与共形场论之间的直接联系。
• 为 Veronese 商 $V^{g+1-\ell}_{\frac{\ell-1}{\ell+1},(\frac{1}{\ell+1})^{2g+2}}$ 提供了新的模解释：其为次数为 $g+1-\ell$ 且具有特定权重的加权标记有理曲线的模空间。
• $\mathbb{D}(\mathfrak{sl}_2,4,3\omega_1^8)$ 与 $F$-曲线 $F(2,2,2,2)$ 的相交数为零，与其他所有 $F$-曲线的相交数为正，其关联的双有理模型被识别为 $\operatorname{M}_{0,8}$ 的 Kontsevich-Boggi 紧化。
• 本文推测，具有正权重的类型 A 共形块除子可分离 $\operatorname{M}_{0,n}$ 上的点，这意味着相关态射仅遗忘边界子簇上的分量或连接点，因此可进行组合描述。
• 结果表明，$\overline{M}_{0,n}$ 的 nef 锥可通过其与 $F$-曲线的相交数据来描述，且 GIT 锥中的相邻壁面对应于 nef 锥中的相邻面。