[论文解读] Vertex Algebroids II

Paul Bressler|ArXiv.org|Apr 8, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 1被引用 14

一句话总结

本文通过将精确顶点 ${\cal O}_X$-代数丛的平凡性障碍类与 $\Omega^1_X$ 的 Atiyah 代数在迹配对下的 Pontryagin 类相关联，确定了该丛的障碍类。结果表明，精确顶点代数丛在 $H^2(X; \Omega^2_X \to \Omega^3_{\text{cl},X})$ 中的类为 $2\operatorname{ch}_2(\Omega^1_X)$，通过 Courant 代数丛扩张与 $\Omega^\bullet_X$ 上的顶点代数丛结构，恢复并改进了 [GMS] 的结果。关键创新在于利用 de Rham 代数上的典范顶点代数丛，通过其关联的 Courant 扩张对精确顶点代数丛进行分类。

ABSTRACT

In this note we determine the obstruction to triviality of the stack of exact vertex algebroids.

研究动机与目标

• 确定精确顶点 ${\cal O}_X$-代数丛的堆 $\mathcal{EVA}_{{\cal O}_X}$ 在 $H^2(X; \Omega^2_X \to \Omega^3_{\text{cl},X})$ 中的障碍类。
• 将该类与配备迹配对的 Atiyah 代数 $\mathcal{A}_{\Omega^1_X}$ 的 Pontryagin 类相关联。
• 建立 $\mathcal{EVA}_{{\cal O}_X}$ 与具有特定对称配对的 $\mathcal{A}_{\Omega^1_X}$ 的 Courant 代数丛扩张的 torsor 之间的反等价。
• 推广具有不变对称配对的传递李代数丛的 Courant 扩张分类，并计算其特征类。

提出的方法

• 在 de Rham 代数 $\Omega^\bullet_X$ 上构造唯一的精确顶点 $\Omega^\bullet_X$-代数丛 $\mathcal{U}$，其诱导出 Atiyah 代数 $\mathcal{A}_{\Omega^1_X}$ 的顶点扩张。
• 利用 $\mathcal{U}$ 的零次部分 $\mathcal{U}^{(0)}$，在 $\underline{\operatorname{End}}_{{\cal O}_X}(\Omega^1_X)$ 上实现 $\mathcal{A}_{\Omega^1_X}$ 的顶点扩张，其对称配对由自同态乘积的迹的相反数给出。
• 建立 $\mathcal{EVA}_{{\cal O}_X}$ 与具有迹配对的 Courant 代数丛扩张堆 $\mathcal{CEXT}_{{\cal O}_X}(\mathcal{A}_{\Omega^1_X})_{\langle\ ,\ \rangle}$ 之间的反等价。
• 应用传递李代数丛的 Courant 扩张的一般分类，将 $\mathcal{CEXT}_{{\cal O}_X}(\mathcal{A}_{\Omega^1_X})_{\langle\ ,\ \rangle}$ 的特征类计算为 Pontryagin 类 $\Pi(\mathcal{A}_{\Omega^1_X}, \langle\ ,\ \rangle)$。
• 利用 $\Pi(\mathcal{A}_{\Omega^1_X}, \langle\ ,\ \rangle) = -2\operatorname{ch}_2(\Omega^1_X)$ 的事实，推导出 $\mathcal{EVA}_{{\cal O}_X}$ 的类为 $2\operatorname{ch}_2(\Omega^1_X)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 精确顶点 ${\cal O}_X$-代数丛的堆在 $H^2(X; \Omega^2_X \to \Omega^3_{\text{cl},X})$ 中的障碍类是什么？
• RQ2 精确顶点代数丛的堆与 Atiyah 代数 $\mathcal{A}_{\Omega^1_X}$ 的迹配对下的 Courant 代数丛扩张的堆之间有何关系？
• RQ3 具有给定不变对称配对的传递李代数丛的 Courant 扩张堆的特征类是什么？
• RQ4 对偶 $(\mathcal{A}_{\Omega^1_X}, \langle\ ,\ \rangle)$ 的 Pontryagin 类如何与相应 Courant 扩张堆的特征类相关联？

主要发现

• 精确顶点 ${\cal O}_X$-代数丛的堆 $\mathcal{EVA}_{{\cal O}_X}$ 在 $H^2(X; \Omega^2_X \to \Omega^3_{\text{cl},X})$ 中的类等于 $2\operatorname{ch}_2(\Omega^1_X)$。
• $\mathcal{EVA}_{{\cal O}_X}$ 作为 $\mathcal{ECA}_{{\cal O}_X}$-torsor 与 Courant 代数丛扩张堆 $\mathcal{CEXT}_{{\cal O}_X}(\mathcal{A}_{\Omega^1_X})_{\langle\ ,\ \rangle}$ 反等价。
• $\mathcal{CEXT}_{{\cal O}_X}(\mathcal{A}_{\Omega^1_X})_{\langle\ ,\ \rangle}$ 的特征类为 Pontryagin 类 $\Pi(\mathcal{A}_{\Omega^1_X}, \langle\ ,\ \rangle)$，其值为 $-2\operatorname{ch}_2(\Omega^1_X)$。
• 配备迹配对的 Atiyah 代数 $\mathcal{A}_{\Omega^1_X}$ 的 Pontryagin 类为 $-2\operatorname{ch}_2(\Omega^1_X)$，该结果通过 $\Omega^1_X$ 的示性类计算得出。
• 唯一顶点 $\Omega^\bullet_X$-代数丛 $\mathcal{U}$ 的构造提供了一个典范模型，其诱导出 $\mathcal{A}_{\Omega^1_X}$ 的所需顶点扩张及正确的对称配对。