[论文解读] Vertex coloring of plane graphs with nonrepetitive boundary paths

János Barát, Július Czap|arXiv (Cornell University)|May 5, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用 12

一句话总结

本文证明了任意平面图均可通过至多24种颜色实现面非重复的顶点着色，从而解决了Jendroľ与Harant的猜想。该方法递归地将外平面图着色技术应用于图的同心层，通过插入边来解决冲突，并利用Thue的回文非重复序列确保面路径上的颜色序列无重复。

ABSTRACT

A sequence $s_1,s_2,...,s_k,s_1,s_2,...,s_k$ is a repetition. A sequence $S$ is nonrepetitive, if no subsequence of consecutive terms of $S$ form a repetition. Let $G$ be a vertex colored graph. A path of $G$ is nonrepetitive, if the sequence of colors on its vertices is nonrepetitive. If $G$ is a plane graph, then a facial nonrepetitive vertex coloring of $G$ is a vertex coloring such that any facial path is nonrepetitive. Let $π_f(G)$ denote the minimum number of colors of a facial nonrepetitive vertex coloring of $G$. Jendro\vl and Harant posed a conjecture that $π_f(G)$ can be bounded from above by a constant. We prove that $π_f(G)\le 24$ for any plane graph $G$.

研究动机与目标

• 解决任意平面图G的面Thue色数πf(G)有界常数的猜想。
• 建立πf(G)的绝对上界，且该上界与图的大小或最大度Δ无关。
• 将非重复着色技术从外平面图和有界树宽图推广至一般平面图。
• 证明n×n网格的面非重复顶点着色最多只需4种颜色。

提出的方法

• 从外面对面开始，逐层对顶点进行着色，交替使用蓝色和红色为连续各层着色。
• 利用每层顶点边界诱导出的子图是外平面图的性质，从而可应用已知的外平面图着色界。
• 当某一面路径在蓝红顶点间交替时，在面内插入辅助边以维持非重复性。
• 应用Thue的回文非重复序列β2k对图中的同心环进行着色，确保面路径中无重复。
• 通过颜色置换与局部约束为未着色顶点分配颜色，确保长度为2或以上的路径中无重复。
• 通过利用对称性与序列性质，将该方法扩展至平面三角剖分图与网格，将所需颜色数限制在4种以内。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意平面图G的面非重复顶点着色数πf(G)是否可被一个绝对常数所界定？
• RQ2 在所有平面图中，是否存在一个最小颜色数足以实现面非重复着色？
• RQ3 如何将外平面图的非重复着色技术推广至具有面路径约束的一般平面图？
• RQ4 n×n网格是否可用少量固定颜色实现面非重复着色？
• RQ5 使用回文非重复序列是否能实现具有复杂面边界的平面结构的有界着色？

主要发现

• 任意平面图G的面Thue色数πf(G)至多为24，证实了Jendroľ与Harant的猜想。
• 该24色上界与图G的最大度Δ无关，显著优于以往的对数与多项式界。
• n×n网格可实现面非重复顶点着色，且最多只需4种颜色，表明该界在特定情况下是紧致的。
• 对于平面三角剖分图，存在一种面非重复着色，且最多只需4种颜色，因为仅需检查长度为2的序列。
• 该方法可自然推广至曲面上嵌入的图，表明其在平面图之外也具有更广泛的应用潜力。
• 使用Thue的回文非重复序列β2k可实现递归的、局部的着色，且能保证面路径中无重复。