[论文解读] Vertex colorings of simplicial complexes

Natalia Dobrinskaya, Jesper M. Møller+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2010

graph theory and CDMA systems参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文通过将 $(P,s)$-着色与 Davis–Januszkiewicz 空间上的向量丛分裂以及 Stanley–Reisner 环中的因式分解相联系，建立了一个同伦论与代数的框架，用于单纯复形的顶点着色。关键结果是通过等式 $\prod_{v\in V}(1+v) = \prod_{p\in P} c_p$ 在 $\mathrm{SR}(K;R)$ 中刻画 $(P,s)$-可着色性，其中每个 $c_p$ 是次数至多为 $2s$ 的对称多项式，统一了组合学、代数拓扑与交换代数。

ABSTRACT

We define an (r,s)-coloring of an abstract simplicial complex to be a coloring using r colors of the vertices so that in any simplex at most s vertices have the same color. We translate the problem of finding an (r,s)-coloring of a given simplex to a topological problem and to a ring theoretic problem. The topological version involves vector bundles over Davis--Januszkiewicz spaces and the algebraic one involves factorizations in Stanley-Reisner rings.

研究动机与目标

• 通过 Stanley–Reisner 环与 Davis–Januszkiewicz 空间，将组合学中的顶点着色问题转化为代数与拓扑不变量。
• 通过 $\mathrm{SR}(K;R)$ 中总陈类的因式分解，刻画单纯复形 $K$ 的 $(P,s)$-可着色性。
• 建立组合学可着色性、$\mathrm{DJ}(K)$ 上向量丛分裂，以及映射到 $\mathrm{map}(P,\mathrm{BU}(s))$ 的同伦类之间的等价关系。
• 计算各种单纯复形（包括球面、多面体及非可构造的三角剖分）的 $s$-色数 $\operatorname{chr}^s(K)$。
• 探索 $s$-着色与 $K$ 的拓扑结构之间的相互作用，特别是在邻接复形与对称复形中的表现。

提出的方法

• 将 $(P,s)$-着色定义为顶点映射 $f: V \to P$，使得任意单形中同色顶点数不超过 $s$。
• 利用 Stanley–Reisner 环 $\mathrm{SR}(K;R)$ 编码 $K$ 的组合结构，并为每个颜色 $p \in P$ 定义对称多项式 $c_{\leq s}(f^{-1}p)$。
• 证明 $K$ 是 $(P,s)$-可着色当且仅当在 $\mathrm{SR}(K;R)$ 中有 $\prod_{v\in V}(1+v) = \prod_{p\in P} c_{\leq s}(f^{-1}p)$。
• 利用 Davis–Januszkiewicz 空间 $\mathrm{DJ}(K)$ 及其映射 $\lambda_K: \mathrm{DJ}(K) \to \mathrm{map}(V,\mathrm{BU}(1))$ 解释上同调中的总陈类。
• 证明 $(P,s)$-可着色性等价于存在 $|P|$ 个 $\mathrm{DJ}(K)$ 上的复向量丛 $\xi_p$，使得 $\lambda_K$ 与 $\bigoplus_p \xi_p$ 稳定同构。
• 利用同伦论准则，证明此类着色存在当且仅当存在一个映射 $\mathrm{DJ}(K) \to \mathrm{map}(P,\mathrm{BU}(s))$，使得相关图表在同伦意义下交换。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时一个有限单纯复形 $K$ 是 $(P,s)$-可着色的？其代数刻画为何？
• RQ2 $K$ 的 $s$-着色与 Davis–Januszkiewicz 空间 $\mathrm{DJ}(K)$ 上向量丛分裂之间有何关系？
• RQ3 $\mathrm{SR}(K;R)$ 中总陈类 $\prod_{v\in V}(1+v)$ 的因式分解如何反映 $K$ 的组合结构？
• RQ4 对于球面与循环多面体等各类单纯复形，$s$-色数 $\operatorname{chr}^s(K)$ 的取值为何？
• RQ5 对于非可构造或高度对称的三角剖分，$s$-色数能否被界定或计算？

主要发现

• 单纯复形 $K$ 是 $(P,s)$-可着色当且仅当在 $\mathrm{SR}(K;R)$ 中有 $\prod_{v\in V}(1+v) = \prod_{p\in P} c_{\leq s}(f^{-1}p)$，其中 $c_{\leq s}(f^{-1}p)$ 是颜色 $p$ 的原像中前 $s$ 个初等对称多项式的和。
• 当 $s=1$ 时，该结果恢复经典着色问题，且与向量丛分裂的等价性此前已知；本文将其推广至任意 $s$。
• $\operatorname{chr}^s(\partial D[(2n)_{+}]) = 3$ 对 $n \geq 1$ 成立，且 $\operatorname{chr}^s(\partial D[(2n+1)_{+}]) = 3$ 对 $n > 1$ 成立，而 $\operatorname{chr}^1(\partial D[3_{+}]) = 4$。
• 对于循环多面体 $\mathrm{CP}(m,2n)$，若 $m > 2n$ 为偶数，则 $\operatorname{chr}^n(\mathrm{CP}(m,2n)) = 2$；若 $m > 2n$ 为奇数，则 $\operatorname{chr}^n(\mathrm{CP}(m,2n)) = 3$。
• 对于 $\mathrm{CP}(m,2n+1)$，若 $n > 1$ 且 $m > 2n+1$，则 $\operatorname{chr}^n(\mathrm{CP}(m,2n+1)) = 3$；若 $n=1$ 且 $m > 3$，则 $\operatorname{chr}^n(\mathrm{CP}(m,2n+1)) = 4$。
• $2$-旗三角剖分 BLP 的 Poincaré 同调 $3$-球面满足 $\operatorname{chr}^2(\mathrm{BLP}) = 4$，而非可构造的 $3$-球面 $S^3_{17,74}$ 满足 $\operatorname{chr}^2 = 3$。