[论文解读] Vertex Cuts

M. J. Dunwoody, Bernhard Krön|arXiv (Cornell University)|May 1, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 23被引用 24

一句话总结

本文通过以顶点移除替代边移除，推广了结构树理论，为有限图与无限图中的k-连通性分析提供了一个统一框架。该理论扩展了Tutte的3-连通块分解，并推广了Stallings针对多端群的结构定理，为具有多个端点的图提供了基于顶点割的分解方法。

ABSTRACT

We generalise structure tree theory, which is based on removing finitely many edges, to removing finitely many vertices. This gives a significant generalization of Tutte's tree decomposition of 2-connected graphs into 3-connected blocks. For a finite graph there is a structure tree that contains information about $k$-connectivity for any $k$. The theory can also be applied to infinite graphs that have more than one vertex end, i.e. ends that can be separated by removing a finite number of vertices. This gives a generalization of Stallings' structure theorem for groups with more than one end.

研究动机与目标

• 将结构树理论从基于边割推广至基于顶点割，以实现对有限图与无限图中k-连通性的分析。
• 通过使用顶点移除而非边移除，推广Tutte将2-连通图分解为3-连通块的方法。
• 通过基于顶点割的分解，将Stallings针对具有多个端点的群的结构定理推广至具有多个顶点端点的图。
• 提供一个统一框架，通过顶点割捕捉不同连通性水平下的图的结构性质。

提出的方法

• 引入基于顶点割的图分解方法，在结构树构建中以顶点移除替代边移除。
• 定义一种结构树，其中每个节点对应于一个由有限顶点割分离出的子图。
• 将该理论应用于有限图，通过顶点割块同时捕捉所有k的k-连通性。
• 将该框架扩展至具有多个顶点端点的无限图，利用顶点割分离端点。
• 使用顶点端点的概念——即在有限顶点分离下等价的射线类——推广Stallings定理。
• 建立一个反映图整体连通性的规范树状结构，通过顶点割分解实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在有限图中将结构树理论从基于边割推广至基于顶点割？
• RQ2 能否利用顶点割以一种方式分解图，从而同时捕捉所有k的k-连通性？
• RQ3 该顶点割分解如何推广至具有多个顶点端点的无限图？
• RQ4 该顶点割框架在何种意义上推广了Stallings针对具有多个端点的群的结构定理？
• RQ5 通过分析顶点割而非边割，图的哪些结构性质得以揭示？

主要发现

• 本文构建了一种用于有限图的结构树，通过顶点割编码所有k的k-连通性信息。
• 顶点割分解推广了Tutte将2-连通图分解为3-连通分量的块分解方法。
• 对于具有多个顶点端点的无限图，该结构树通过顶点割分离捕捉了图的整体连通性。
• 该理论推广了Stallings针对具有多个端点的群的结构定理，现可适用于具有多个顶点端点的图。
• 该框架基于顶点割建立了一个规范的树分解，为有限与无限情形下的图连通性提供了统一视角。