[论文解读] Vertex decomposable graphs, codismantlability, Cohen-Macaulayness and Castelnuovo-Mumford regularity

Türker Bı́yı́koğlu, Yusuf Civan|arXiv (Cornell University)|May 25, 2012

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文引入了可共拆图——通过递归移除其闭邻域包含其他顶点闭邻域的顶点来定义——并证明在 $(C_4, C_5)$-自由的完美顶点覆盖图中，顶点可分解性、共拆性与科恩-麦克aul伊附着性三者等价。本文证明此类图的卡斯特尔努奥沃-穆尔福迪正则性等于其诱导匹配数，从而解决了关于无度数为一的逐次科恩-麦克aul伊附着图的一个近期问题。

ABSTRACT

We call a (simple) graph G codismantlable if either it has no edges or else it has a codominated vertex x, meaning that the closed neighborhood of x contains that of one of its neighbor, such that G-x codismantlable. We prove that if G is well-covered and it lacks induced cycles of length four, five and seven, than the vertex decomposability, codismantlability and Cohen-Macaulayness for G are all equivalent. The rest deals with the computation of Castelnuovo-Mumford regularity of codismantlable graphs. Note that our approach complements and unifies many of the earlier results on bipartite, chordal and very well-covered graphs.

研究动机与目标

• 定义并研究一种基于邻域包含关系递归移除顶点的新图类——可共拆图。
• 统一并扩展关于二分图、弦图及非常完美顶点覆盖图中科恩-麦克aul伊附着性与正则性的先前结果。
• 解决一个近期开放问题：关于无度数为一顶点、顶点覆盖数为顶点总数一半的逐次科恩-麦克aul伊附着图。
• 为 $(C_4,C_5)$-自由的顶点可分解图建立卡斯特尔努奥沃-穆尔福迪正则性的组合公式，其表达式为诱导匹配数。
• 构造一个无限族的顶点可分解、可共拆、逐次科恩-麦克aul伊附着图，满足特定正则性与覆盖数条件。

提出的方法

• 引入共支配顶点的概念：若存在 $y \neq x$ 使得 $N_G[y] \subseteq N_G[x]$，则称顶点 $x$ 为共支配顶点，由此通过递归移除此类顶点定义可共拆图。
• 证明 $(C_4, C_5)$-自由的顶点可分解图是可共拆图，将图的结构性质与代数不变量联系起来。
• 在 $(C_4, C_5, C_7)$-自由的完美顶点覆盖图中，建立顶点可分解性、可共拆性与科恩-麦克aul伊附着性三者之间的等价关系。
• 定义边-团-胡须化操作：在边-不相交团划分的每个团顶点上附加一个新顶点，生成顶点可分解且可共拆的图。
• 利用有向无环图的公共敌人图构造方法，生成顶点可分解且可共拆的图，包括偏序集的上界图。
• 应用上述构造方法，证明对任意 $(C_4, C_5)$-自由图 $G$ 的边-团划分 $\Pi$，均有 $\operatorname{reg}(G^\Pi) = \operatorname{im}(G^\Pi)$，并构造无限族 $H_n$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无 $C_4$、$C_5$ 与 $C_7$ 环的完美顶点覆盖图中，其顶点可分解性的条件是什么？
• RQ2 $(C_4, C_5)$-自由的顶点可分解图的卡斯特尔努奥沃-穆尔福迪正则性能否以组合方式表示为诱导匹配数？
• RQ3 是否存在一个逐次科恩-麦克aul伊附着图，其无度数为一的顶点，顶点覆盖数等于顶点总数的一半，且满足 $\operatorname{reg}(G) = \operatorname{im}(G)$？
• RQ4 可共拆性是否对所有完美顶点覆盖图都蕴含顶点可分解性？是否存在反例？
• RQ5 边-团-胡须化操作在从任意图生成顶点可分解与可共拆图中起什么作用？

主要发现

• 对 $(C_4, C_5)$-自由的顶点可分解图，卡斯特尔努奥沃-穆尔福迪正则性等于诱导匹配数：$\operatorname{reg}(G) = \operatorname{im}(G)$。
• 任何满足 $\operatorname{im}(H) = \operatorname{reg}(H) = \operatorname{m}(H)$ 的图 $H$ 必为可共拆图，其中 $\operatorname{m}(H)$ 为匹配数。
• 通过边-团划分 $\Pi$ 对任意 $(C_4, C_5)$-自由图 $G$ 进行边-团-胡须化操作，得到的图 $G^\Pi$ 为顶点可分解且可共拆图。
• 对所有 $n \geq 6$，无限族 $H_n$ 为顶点可分解、可共拆、逐次科恩-麦克aul伊附着图，满足 $\operatorname{reg}(H_n) = \operatorname{im}(H_n)$，且无度数为一的顶点，顶点覆盖数等于顶点总数的一半。
• 任意有向无环图的公共敌人图是顶点可分解且可共拆图，推广了偏序集上界图的构造方法。
• 对 $(C_4, C_5, C_7)$-自由的完美顶点覆盖图，顶点可分解性、可共拆性与科恩-麦克aul伊附着性三者完全等价。