[论文解读] Vertex Decomposition of Steiner Wiener Index and Steiner Betweenness Centrality

Matjaž Kovše|arXiv (Cornell University)|May 1, 2016

Graph theory and applications参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文提出了一种用于斯坦纳 $k$-Wiener 指数的顶点分解框架，引入了一种新颖的 $k$-斯坦纳中间中心性，用于量化一个顶点作为非终端顶点出现在 $k$-斯坦纳树中的频率。主要贡献是将 Škrekovski 和 Gutman 的 Wiener 指数顶点分解推广到更高阶的斯坦纳结构，从而在树和模图中通过顶点贡献实现对斯坦纳 $k$-Wiener 指数的精确计算。

ABSTRACT

A formula based on a vertex contributions of the Steiner $k$-Wiener index is induced by a newly introduced $k$-Steiner betweenness centrality, which measures the number of $k$-Steiner trees that include a particular vertex as a non-terminal vertex. This generalizes Škrekovski and Gutman's Vertex version of the Wiener Theorem and a result of Gago on the average betweenness centrality and the average distance in general graphs.

研究动机与目标

• 通过 $k$-斯坦纳中间中心性，将 Wiener 指数的顶点分解推广到更高阶的斯坦纳结构。
• 基于树中顶点贡献，建立斯坦纳 $k$-Wiener 指数的公式。
• 将该框架扩展到一般图和模图，实现对平均 $k$-斯坦纳中间中心性的精确计算。
• 利用 Wiener 指数，推导模图中平均 3-斯坦纳中间中心性的闭式表达式。
• 为一般连通图定义并分析总斯坦纳中间中心性和总斯坦纳 Wiener 指数。

提出的方法

• 将 $k$-斯坦纳中间中心性 $B_k(v)$ 定义为：对所有满足 $S \subseteq V(G) \setminus \{v\}$ 的 $k$-子集 $S$，计算包含 $v$ 作为非终端顶点的 $k$-斯坦纳树所占比例的总和。
• 建立顶点分解公式：对于树，有 $SW_k(G) = \sum_{v \in V(G)} B_k(v) + (k-1)\binom{n}{k}$。
• 证明对于一般图，斯坦纳 $k$-Wiener 指数可分解为 $SW_k(G) = \sum_{v \in V(G)} B_k(v) + (k-1)\binom{n}{k}$，扩展了先前关于 Wiener 指数分解的结果。
• 利用模图的结构，推导出闭式表达式：$SW_3(G) = \frac{n-2}{2} W(G)$。
• 将总斯坦纳中间中心性 $B_S(v)$ 定义为所有 $k \geq 2$ 的 $B_k(v)$ 之和，将总斯坦纳 Wiener 指数 $SW(G) = \sum_{k=2}^n SW_k(G)$。
• 推导出恒等式 $SW(G) = \sum_{v \in V(G)} B_S(v) + 2^{n-1}(n-2) + 1$，建立总斯坦纳 Wiener 指数与总中间中心性之间的直接代数联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用广义中间中心性将斯坦纳 $k$-Wiener 指数分解为顶点贡献？
• RQ2 在树中，斯坦纳 $k$-Wiener 指数与 $k$-斯坦纳中间中心性之间的确切关系是什么？
• RQ3 斯坦纳 $k$-Wiener 指数的顶点分解公式能否推广到一般连通图？
• RQ4 模图中平均 3-斯坦纳中间中心性的闭式表达式是什么？
• RQ5 在一般连通图中，总斯坦纳 Wiener 指数与总斯坦纳中间中心性之间有何关系？

主要发现

• 对于树，斯坦纳 $k$-Wiener 指数满足 $SW_k(T) = \sum_{v \in V(T)} B_k(v) + (k-1)\binom{n}{k}$，实现了顶点层面的分解。
• 在模图中，3-斯坦纳 Wiener 指数恰好为 $SW_3(G) = \frac{n-2}{2} W(G)$，直接与经典 Wiener 指数关联。
• 模图中平均 3-斯坦纳中间中心性为 $\overline{B_3}(G) = \frac{1}{n}\left(\frac{n-2}{2}W(G) - 2\binom{n}{3}\right)$，可在多项式时间内计算。
• 对于 $d$-维超立方体，平均 3-斯坦纳中间中心性为 $\overline{B_3}(Q_d) = (2^{d-1}-1)(d2^{d-2} - \frac{1}{3}(2^{d+1}-2))$，由于顶点对称性，所有顶点具有相同的中心性。
• 总斯坦纳 Wiener 指数满足 $SW(G) = \sum_{v \in V(G)} B_S(v) + 2^{n-1}(n-2) + 1$，建立了总斯坦纳 Wiener 指数与总斯坦纳中间中心性之间的直接代数联系。
• 平均总斯坦纳中间中心性为 $\overline{B_S}(G) = \frac{1}{n}\left((2^n - n - 1)\overline{SW}(G) - 2^{n-1}(n-2) - 1\right)$，提供了一种从平均斯坦纳多样性计算平均中心性的公式。