[论文解读] Vertex operator algebras associated to admissible representations of $\hat{sl}_2$

Chongying Dong, Haisheng Li+1 more|ArXiv.org|Sep 25, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 6

一句话总结

该论文通过修改 Virasoro 代数作用，从仿射李代数 $ˇ{sl}_2$ 的可允许表示构造了一个有理顶点算子代数（VOA）。证明了当 $l$ 非整数时，标准 $L(l,0)$ VOA 并非有理的，但通过重新定义 Virasoro 结构后，$L(l,0)$ 成为有理 VOA，其不可约模恰好为可允许表示。在新 Virasoro 代数下，$q$-维数表现为模形式，且融合规则被显式计算。

ABSTRACT

The admissible modules for $\hat{sl}_2$ are studied from the point of view of vertex operator algebra. If $l$ is rational such that $l+2={p\over q}$ for some coprime positive integers $p\ge 2$ and $q$, Kac and Wakimoto found finitely many distinguished irreducible representations for $\hat{sl}_2$, called admissible representations. In this paper we prove that the vertex operator algebra $L(l,0)$ associated to irreducible highest weight representation of $l$ is not rational if $l$ is not a positive integer. However if we change the Virasoro algebra in certain way, $L(l,0)$ becomes a rational vertex operator algebra whose irreducible representations are exactly those admissible representations. We show that the $q$-dimensions with respect to the new Virasoro algebra are modular functions. We aslo calculate the fusions rules.

研究动机与目标

• 从顶点算子代数（VOA）的角度研究仿射李代数 $ˇ{sl}_2$ 的可允许表示。
• 解决当 $l$ 不是正整数时，标准 VOA $L(l,0)$ 的非有理性问题。
• 通过重新定义 Virasoro 代数作用，在 $L(l,0)$ 上构造有理 VOA 结构。
• 证明新 VOA 的不可约模恰好是 $ˇ{sl}_2$ 的可允许表示。
• 建立新 Virasoro 代数下 $q$-维数为模函数的性质。

提出的方法

• 在最高权模 $L(l,0)$ 上定义一个修改后的 Virasoro 代数作用，取代标准作用。
• 使用 Kac-Wakimoto 对 $ˇ{sl}_2$ 可允许表示的分类，其中 $l+2 = p/q$，$p \geq 2$，$\gcd(p,q)=1$。
• 证明在新 Virasoro 作用下，$L(l,0)$ 成为具有有限多个不可约模的有理 VOA。
• 利用新 Virasoro 结构计算每个不可约模的 $q$-维数，并证明其表现为模形式。
• 利用 $q$-维数的模性质推导可允许表示之间的融合规则。
• 应用共形场论与模表示理论的技术分析 VOA 结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过重新定义 Virasoro 代数，使与非整数 $l$ 相关的顶点算子代数 $L(l,0)$ 成为有理的？
• RQ2 修改后的 $L(l,0)$ VOA 的不可约模是否恰好是 $ˇ{sl}_2$ 的可允许表示？
• RQ3 在新 Virasoro 代数下，不可约模的 $q$-维数是否表现为模函数？
• RQ4 在此 VOA 框架下，$ˇ{sl}_2$ 可允许表示之间的显式融合规则是什么？
• RQ5 $q$-维数的模不变性如何约束 VOA 的结构？

主要发现

• 当 $l$ 不是正整数时，标准顶点算子代数 $L(l,0)$ 并非有理的。
• 通过重新定义 Virasoro 代数作用，$L(l,0)$ 成为有理顶点算子代数。
• 新 VOA 的不可约模恰好是 $ˇ{sl}_2$ 的可允许表示。
• 在新 Virasoro 代数下，每个不可约模的 $q$-维数为模函数。
• 可允许表示之间的融合规则被显式计算，并与模不变性一致。
• 模 $q$-维数为新 VOA 表示范畴提供了完整特征。