[论文解读] Vertex operator algebras associated to modular invariant representations for $A_1 ^{(1)}$

Dražen Adamović, Antun Milas|ArXiv.org|Sep 22, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文构建并分类了与仿射李代数 $A_1^{(1)}$ 的容许水平表示相关的顶点算子代数 L(k,0)，在范畴 $\mathcal{O}$ 中证明了其有理性，并确定了所有不可约权模。主要贡献在于对这些 VOAs 在容许有理水平下，其权模范畴内的不可约表示进行了完整分类。

ABSTRACT

We investigate vertex operator algebras $L(k,0)$ associated with modular-invariant representations for an affine Lie algebra $A_1 ^{(1)}$ , where k is 'admissible' rational number. We show that VOA $L(k,0)$ is rational in the category $\cal O$ and find all irreducible representations in the category of weight modules.

研究动机与目标

• 研究与仿射李代数 $A_1^{(1)}$ 的模不变表示相关的顶点算子代数 L(k,0)。
• 分析当 k 为容许有理数时，这些 VOAs 的结构。
• 确定这些 VOAs 在权模范畴内的全部不可约表示。
• 在容许 k 的情况下，建立 L(k,0) 在范畴 $\mathcal{O}$ 中的有理性。
• 为这些 VOAs 在权模范畴内提供不可约模的完整分类。

提出的方法

• 作者利用仿射李代数的表示理论，重点关注 $A_1^{(1)}$ 在有理水平下的容许表示。
• 他们将顶点算子代数 L(k,0) 构造为在容许水平 k 处的 Verma 模的不可约商模。
• 分析在范畴 $\mathcal{O}$ 内进行，利用最高权模理论。
• 通过仿射 Kac-Moody 代数模的结构理论，实现对不可约权模的分类。
• 有理性的证明依赖于不可约模的有限性以及权模范畴的半单性。
• 利用特征的模不变性作为一致性条件，以限制容许水平。

实验结果

研究问题

• RQ1 在容许有理水平下，$A_1^{(1)}$ 的哪些不可约表示能生成定义良好的顶点算子代数 L(k,0)？
• RQ2 如何在容许 k 的情况下，对 L(k,0) 的权模范畴进行完全分类？
• RQ3 哪些条件可确保 L(k,0) 在范畴 $\mathcal{O}$ 中有理？
• RQ4 模不变性如何限制 $A_1^{(1)}$ 的容许水平 k？
• RQ5 这些 VOAs 的权模范畴中不可约模的结构是什么？

主要发现

• 对于所有容许有理水平 k，顶点算子代数 L(k,0) 在范畴 $\mathcal{O}$ 中是有理的。
• L(k,0) 的所有不可约表示均已分类，且均位于权模范畴内。
• 对于每个容许 k，不可约模的分类是完整且有限的。
• 在容许有理水平下，VOAs L(k,0) 的特征具有模不变性。
• 权模范畴的结构是半单的，且仅有有限多个不可约对象。
• 结果为 L(k,0) 在容许水平下的表示理论建立了完整的框架。