[论文解读] Vertex operators and the class algebras of symmetric groups

Alain Lascoux, Jean‐Yves Thibon|ArXiv.org|Feb 6, 2001

Advanced Algebra and Logic被引用 5

一句话总结

本文引入了一个顶点算符，统一实现了在所有对称群代数中对朱伊克斯-墨菲元素幂和的乘法作用，揭示了 ${\cal W}_{1+\infty}$ 代数的表示。通过矩阵积分，提供了对 Goupil-Poulalhon-Schaeffer 算符的新推导，并通过归一化共轭类结构常数的不变性，重新推导出 Kerov-Olshanski 在杨图上的多项式函数。

ABSTRACT

We exhibit a vertex operator which implements multiplication by power-sums of Jucys-Murphy elements in the centers of the group algebras of all symmetric groups simultaneously. The coefficients of this operator generate a representation of ${\cal W}_{1+\infty}$, to which operators multiplying by normalized conjugacy classes are also shown to belong. A new derivation of such operators based on matrix integrals is proposed, and our vertex operator is used to give an alternative approach to the polynomial functions on Young diagrams introduced by Kerov and Olshanski.

研究动机与目标

• 构建一个顶点算符，使其在所有 $n$ 的对称群代数中心中同时实现对朱伊克斯-墨菲元素幂和的乘法作用。
• 证明由此产生的算符生成 ${\cal W}_{1+\infty}$ 代数的表示，扩展 Frenkel 和 Wang 的 Virasoro 结果。
• 通过矩阵积分方法，提供 Goupil-Poulalhon-Schaeffer 算符的新推导，无需依赖球函数。
• 通过证明归一化共轭类中结构常数的 $n$-无关性，重新推导 Kerov 和 Olshanski 在杨图上的多项式函数。
• 确立实现对归一化共轭类乘法的算符构成 $U({\cal W}_{1+\infty})$ 中的交换子代数。

提出的方法

• 该顶点算符被构造为实现 $\mathbb{C}{\mathfrak{S}}_n$ 中朱伊克斯-墨菲元素第 $k$ 个幂和 $p_k(\Xi_n)$ 乘法的微分算符 ${\sf D}_k$ 的生成函数。
• 该算符以 $\mathfrak{gl}_\infty$ 和 $\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ 的 Fock 空间表示的经典顶点算符 $\Gamma(z_1,z_2)$ 表示。
• 计算并证明了对易关系 $[\sf{D}_k, \alpha_l]$，其生成了 ${\cal W}_{1+\infty}$ 的荷为 1 的表示，且其闭式表达式可由标准生成元表示。
• 通过结合所有 $n$ 的生成函数，应用矩阵积分技术，将其简化为一种修正的高斯测度，其计算使用了 Wicks 公式。
• 利用余代数结构 $\Gamma(F) = \delta\sigma_1 \sum f_{\alpha\beta} p_\alpha \otimes p_\beta$，推导出对约化分拆 $\rho$ 的 $\sf{H}_\rho$ 作为微分算符的作用。
• 通过证明 $p_\mu(\Xi_n)$ 在归一化共轭类上的系数与 $n$ 无关，建立了与 Kerov-Olshanski 函数的联系，从而表明其为平移幂和 $\tilde{p}_k(\lambda)$ 上的多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个单一的顶点算符，能够统一实现所有对称群代数中对朱伊克斯-墨菲元素幂和的乘法作用？
• RQ2 由此产生的算符是否生成 ${\cal W}_{1+\infty}$ 代数的表示？若是，其结构常数与已知生成元有何关系？
• RQ3 能否通过矩阵积分方法重新推导 Goupil-Poulalhon-Schaeffer 算符，而无需依赖球函数？
• RQ4 归一化共轭类中结构常数的 $n$-无关性是否为顶点算符形式体系的推论？
• RQ5 实现对归一化共轭类乘法的算符是否构成 $U({\cal W}_{1+\infty})$ 中的交换子代数？

主要发现

• 顶点算符 $\Gamma(z_1,z_2)$ 在所有对称群代数的中心上生成统一作用，实现了对所有 $n$ 的 $p_k(\Xi_n)$ 乘法。
• 对易关系 $[\sf{D}_k, \alpha_l]$ 生成了 ${\cal W}_{1+\infty}$ 的荷为 1 的表示，其闭式表达式可由标准生成元明确表示。
• 归一化共轭类 $\sf{a}_{\rho;n}$ 的结构常数与 $n$ 无关，这意味着函数 $f_\rho(\lambda)$ 是平移幂和 $\tilde{p}_k(\lambda)$ 上的多项式。
• 通过矩阵积分，重新推导出 Goupil-Poulalhon-Schaeffer 算符 $\sf{H}_\rho$，提供了其生成函数的直接组合证明，无需使用球函数。
• 实现对归一化共轭类乘法的算符 $\sf{A}_\rho$ 位于 $U({\cal W}_{1+\infty})$ 的 $R_0$ 表示的像中，因为它们是交换算符 $P_k$ 的多项式。
• 关系式 $P_n = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} \sf{D}_k$ 将 $P_k$ 与 ${\sf D}_k$ 联系起来，确认了 $\sf{A}_\rho$ 通过 $P_k$ 基底位于 $U({\cal W}_{1+\infty})$ 中。