[论文解读] Vertices with fixed outdegrees in large Galton-Watson trees

Paul Thévenin|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用 9

一句话总结

本论文研究了在大条件Galton-Watson树中，具有固定出度的顶点的渐近行为，采用轮廓遍历和字典序探索过程。研究建立了限制计数过程为中心化的充分必要条件，扩展了波动 universality 的结果，并在一般条件下（包括无限方差和次临界幂律后代分布）证明了渐近正态性。

ABSTRACT

We are interested in nodes with fixed outdegrees in large conditioned Galton--Watson trees. We first study the scaling limits of processes coding the evolution of the number of such nodes in different explorations of the tree (lexicographical order and contour order) starting from the root. We give necessary and sufficient conditions for the limiting processes to be centered, thus measuring the linearity defect of the evolution of the number of nodes with fixed outdegrees. This extends results by Labarbe & Marckert in the case of the contour-ordered counting process of leaves in uniform plane trees. Then, we extend results obtained by Janson concerning the asymptotic normality of the number of nodes with fixed outdegrees.

研究动机与目标

• 分析大条件Galton-Watson树中具有固定出度的顶点的计数过程的极限行为。
• 扩展先前关于轮廓过程中中心化波动的结果，特别是Labarbe与Marckert对均匀平面树中叶子的研究。
• 将Janson关于固定出度计数的渐近正态性结果推广至更广泛的后代分布，包括无限方差和次临界幂律分布。
• 在适当的重标度下，建立条件树收敛到α-稳定树的结果。

提出的方法

• 使用轮廓和字典序（深度优先）探索过程，对Galton-Watson树中固定出度顶点计数的演化进行编码。
• 对重标度后的计数过程应用函数中心极限定理，证明其联合收敛到布朗运动和布朗桥过程。
• 采用双变量中心极限定理和局部极限定理的论证方法，处理多种出度类型联合收敛的问题。
• 应用稳定分布理论和吸引域结果，将收敛性推广到α∈(1,2]的α-稳定树。
• 利用多变量极限定理和条件化论证，推导固定出度计数的渐近分布。
• 依赖Lukasiewicz路径和轮廓函数作为树的编码机制，并通过适当的重标度获得普遍极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在轮廓过程中，具有固定出度的顶点计数过程在何种条件下渐近为中心化？
• RQ2 轮廓过程中波动 universality 的中心化特性是否在均匀平面树和叶子之外也成立？
• RQ3 对于具有无限方差的临界Galton-Watson树，固定出度计数的渐近正态性是否可推广？
• RQ4 在大条件树中，多种固定出度计数的联合极限分布是什么？
• RQ5 对于任意满足µA > 0的固定出度集合A，条件树收敛到α-稳定树的结果是否成立？

主要发现

• 在轮廓过程中，固定出度顶点计数的极限过程为中心化，当且仅当后代分布满足涉及出度集合A的特定矩条件。
• 对于具有有限方差的临界Galton-Watson树，多种固定出度的归一化计数联合收敛到多元正态分布，其协方差结构取决于出度集合之间的两两交集。
• 在无限方差情况下，当后代分布属于α-稳定分布的吸引域时，归一化计数过程收敛到包含布朗桥和独立布朗运动的双变量极限。
• 对于β > 2的次临界幂律后代分布，固定出度的归一化计数联合收敛到均值为零、协方差矩阵由出度集合概率决定的多元正态分布。
• 在对具有n个出度属于A的顶点进行条件化后，树Tn^A在适当的重标度下，依Gromov-Hausdorff距离收敛到α-稳定树。
• 临界Galton-Watson树中恰好有n个出度属于A的顶点的渐近概率为C·L(n)·n^(-1-1/α)，其中C依赖于µ和A，L(n)为慢变函数。