[论文解读] Very slow heating for weakly driven quantum many-body systems

Wojciech De Roeck, Victor Verreet|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2019

Quantum many-body systems参考文献 50被引用 11

一句话总结

本文证明了在时间依赖哈密顿量由相互对易项组成的弱驱动量子多体系统中，即使在中等频率下，由于非微扰小的加热速率，系统加热极其缓慢。关键结果是热化时间的严格上界，其在微扰强度下为超多项式增长，从而在不依赖高频展开或有效时间不变哈密顿量的前提下，确立了长寿命的预热化区域。

ABSTRACT

It is well understood that many-body systems driven at high frequency heat up only exponentially slowly and exhibit a long prethermalization regime. We prove rigorously that a certain relevant class of systems heat very slowly under weak periodic driving at intermediate frequency as well. This class of systems are those whose time-dependent, possibly translation-invariant, Hamiltonian is a weak perturbation of a sum of mutually commuting terms. This condition covers several periodically kicked systems that have been considered in the literature recently, in particular kicked Ising models. In contrast to the high-frequency regime, the prethermalization dynamics of our systems is in general not related to any time-independent effective Floquet Hamiltonian. Our results also have non-trivial implications for closed (time-independent) systems. We use the example of an Ising model with transversal and longitudinal field to show how they imply confinement of excitations. More generally, they show how "glassy" kinetically constrained models emerge naturally from simple many-body Hamiltonians, thus connecting to the topic of 'translation-invariant localization'.

研究动机与目标

• 建立弱驱动量子多体系统表现出预热化且加热极慢的条件，超越微扰界限。
• 分析驱动频率不高的系统，但加热速率仍因底层谱和动力学约束而保持非微扰小。
• 表明预热化区域并非源于时间不变的有效哈密顿量，而是源于时间有序演化中对易项的结构。
• 将结果扩展至静态系统，展示对易局部项如何导致超多项式稳定的守恒律和涌现的动力学约束。
• 将这些发现与平移不变系统中玻璃态、动力学约束行为的出现联系起来，包括局域化和准局域化。

提出的方法

• 作者使用时间依赖的施里弗-沃尔夫型变换，迭代消除哈密顿量中的非对角项，构建一系列有效哈密顿量。
• 他们定义了一个递归方案，涉及算符 $ V_n $、$ D_n $ 和 $ A_n $，其中 $ A_n $ 通过 $ [A_n, H^0] + V_n = 0 $ 选择以消除主导非对易部分，利用谱隙结构。
• 该方法依赖于未微扰哈密顿量 $ H^0 $ 的玻尔频率（能量差）的丢番图条件，以确保共振项被抑制。
• 通过加权范数 $ orm{ullet}_{n} $ 推导范数估计，其衰减由 $ rac{1}{|m{J} m{m}|} $ 控制，且丢番图条件 $ |m{J} m{m}| otin rac{x}{|m{m}|^ au} $ 确保小量。
• 迭代持续至有限 $ n_* hicksim rac{1}{ ext{poly}(g)} $，得到残余微扰的界，证明系统在时间 $ hicksim ext{exp}( ext{poly}(1/g)) $ 内保持接近初始态。
• 对于静态情况，将相同迭代过程应用于 $ H = H^0 + gW $，表明 $ H^0 $ 的守恒律在小微扰下可超多项式长时间保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 在驱动频率不高的情况下，弱驱动量子多体系统是否仍能出现长寿命的预热化态？
• RQ2 哈密顿量的何种结构条件可确保加热为非微扰缓慢，即热化时间在 $ 1/g $ 下为超多项式增长？
• RQ3 在中等频率区域，若不存在时间不变的有效哈密顿量，是否仍能实现稳健的预热化机制？
• RQ4 在平移不变哈密顿量中，对易局部项如何导致准守恒荷和动力学约束的涌现？
• RQ5 此类系统在无无序条件下，其表现出局域化或玻璃态动力学的程度如何？

主要发现

• 由相互对易项组成的时间依赖哈密顿量的弱驱动系统中，加热速率被界为 $ ext{exp}(-c ext{poly}(1/g)) $，意味着热化时间在 $ 1/g $ 下为超多项式增长。
• 预热化区域即使在无高频展开时也持续存在，且不由时间不变的有效哈密顿量所支配。
• 对于静态情况，准守恒荷 $ Q $ 的数量为 $ ext{O}(1) $，其持久时间在 $ 1/g $ 下也为超多项式增长，前提是能量差的丢番图条件成立。
• 在横向和纵向伊辛模型中，展示了动力学约束和局域化的出现，其中 $ H^0 $ 的对易结构导致激发的局域化。
• 该方法给出了演化态与初始态偏离的严格界，误差由 $ orm{V_{n_*}}_{n_*} hicksim ext{poly}( ext{log}(n_*)) n_*^{ au+q} imes (gT)^{n_*} $ 控制，当 $ n_* hicksim ext{poly}(1/g) $ 时仍保持微小。
• 丢番图条件成立的概率下界为 $ 1 - C x $（当 $ au > q $ 时），表明此类系统在测度论意义上是典型的。