[论文解读] Vibrations in jammed solids: Beyond linear response

Thibault Bertrand, Carl F. Schreck+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Granular flow and fluidized beds被引用 3

一句话总结

本文提出了一种仅在纯排斥力、无摩擦接触力作用下，密集堆积颗粒固体的相图，区分了具有简谐振动响应的等配位固体（ICS）与具有强非简谐响应的欠配位固体（HCS）。关键发现是HCS中的振动响应为非简谐且依赖于测量方法，挑战了在接近jamming临界点时密集物质线性响应理论的假设。

ABSTRACT

We propose a `phase diagram' for particulate systems that interact via purely repulsive contact forces, such as granular media and colloidal suspensions. We identify and characterize two distinct classes of behavior as a function of the input kinetic energy per degree of freedom $T_0$ and packing fraction deviation above and below jamming onset $Δϕ=ϕ- ϕ_J$ using numerical simulations of purely repulsive frictionless disks. Iso-coordinated solids (ICS) only occur above jamming for $Δϕ> Δϕ_c(T_0)$; they possess average coordination number equal to the isostatic value ($< z> = z_{ m iso}$) required for mechanically stable packings. ICS display harmonic vibrational response, where the density of vibrational modes from the Fourier transform of the velocity autocorrelation function is a set of sharp peaks at eigenfrequencies $ω_k^d$ of the dynamical matrix evaluated at $T_0=0$. Hypo-coordinated solids (HCS) occur both above and below jamming onset within the region defined by $Δϕ> Δϕ^*_-(T_0)$, $Δϕ< Δϕ^*_+(T_0)$, and $Δϕ> Δϕ_{cb}(T_0)$. In this region, the network of interparticle contacts fluctuates with $< z> \approx z_{ m iso}/2$, but cage-breaking particle rearrangements do not occur. The HCS vibrational response is nonharmonic, {\it i.e} the density of vibrational modes $D(ω)$ is not a collection of sharp peaks at $ω_k^d$, and its precise form depends on the measurement method. For $Δϕ> Δϕ_{cb}(T_0)$ and $Δϕ< Δϕ^*_{-}(T_0)$, the system behaves as a hard-particle liquid.

研究动机与目标

• 理解在纯排斥力作用下，密集颗粒系统（尤其是接近jamming临界点时）的振动响应。
• 根据动能 $T_0$ 和堆积分数偏离 $\Delta\phi$，识别并表征这些系统中机械与振动行为的不同类别。
• 通过直接测量振动模式而非推断，挑战密集物质中线性响应的假设。
• 阐明接触网络涨落对振动谱的影响，特别是在无粒子重排的情况下。

提出的方法

• 对 $N$ 个双分散、无摩擦的圆盘进行数值模拟，采用纯排斥的两体势 $V(r_{ij}) = \frac{\epsilon}{2}(1 - r_{ij}/\sigma_{ij})^2 \Theta(1 - r_{ij}/\sigma_{ij})$。
• 通过速度自相关函数的傅里叶变换测量振动响应，以获得 $D(\omega^v)$。
• 将 $D(\omega^v)$ 与来自位移相关矩阵的 $D(\omega^s)$ 及在 $T_0=0$ 时的动态矩阵的 $D(\omega^d)$ 进行比较。
• 基于 $\langle z\rangle/z_{\rm iso}$ 和 $D(\omega)$ 识别三种状态：等配位固体（ICS）、欠配位固体（HCS）和硬球液体（HPL）。
• 利用标度坍缩分析模态软化频率的频率依赖性，拟合 $\omega_m^s \sim \alpha \sqrt{T_0} (\Delta\phi)^\nu$，在jamming之上 $\nu \approx 0.25$。
• 通过有效直径标度估算热漂移对jamming点的影响 $\Delta\phi_s(T_0)$，得到 $\Delta\phi_s \sim \sqrt{T_0}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 随着 $T_0$ 和 $\Delta\phi$ 的变化，密集固体的振动响应如何偏离简谐行为？
• RQ2 在接触网络涨落的系统中，是什么决定了简谐与非简谐振动谱之间的转变？
• RQ3 为何在欠配位区域不同测量方法会得到不同的 $D(\omega)$？
• RQ4 热涨落在jamming转变及接触网络稳定性中起什么作用？
• RQ5 HCS中的非简谐振动响应能否被归一化为一种通用的标度形式？

主要发现

• 等配位固体（ICS）存在于 $\Delta\phi > \Delta\phi_c(T_0) \sim N^{0.85} \sqrt{T_0}/A$ 区域，其中 $\langle z\rangle = z_{\rm iso}$，振动响应为简谐，且在 $\omega_k^d$ 处具有清晰的峰值。
• 欠配位固体（HCS）出现在 $\Delta\phi > \Delta\phi_{-}^*(T_0)$，$\Delta\phi < \Delta\phi_{+}^*(T_0)$，且 $\Delta\phi > \Delta\phi_{cb}(T_0)$ 的区域，$\langle z\rangle/z_{\rm iso} \approx 0.5$，表现出强烈的非简谐振动响应。
• 在HCS中，$D(\omega^v)$ 与 $D(\omega^s)$ 显著不同：$D(\omega^v)$ 在低频处具有更强的峰，且在高频区域曲率相反。
• 当 $\Delta\phi > \Delta\phi_{cb}(T_0)$ 且 $\Delta\phi < \Delta\phi_{-}^*(T_0)$ 时，系统表现为硬球液体（HPL），$\langle z\rangle/z_{\rm iso} \sim 0$，且 $D(\omega)$ 类似于液体。
• 广义笼子尺寸 $l_c$ 在jamming以下按 $\Delta\phi$ 缩放，在jamming以上按 $\sim (\Delta\phi)^\lambda$ 缩放，且 $\lambda \gtrsim 2$。
• 模态软化频率 $\omega_m^s$ 在标度 $\omega_m^s \sim \alpha \sqrt{T_0} (\Delta\phi)^\nu$ 下实现坍缩，jamming之上 $\nu \approx 0.25$，jamming之下 $\nu = 1$，表明存在不同的标度区域。