[论文解读] Virasoro 3-algebra from scalar densities

T. A. Larsson|ArXiv.org|Jun 25, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用 13

一句话总结

本文表明，由 Curtright、Fairlie 和 Zachos 引入的 Virasoro-Witt 3-代数，可通过将 Nambu 对易子应用于标量密度上实现的 ${\mathfrak{vect}}(1)$ 代数推导得出。该构造可推广至高维情形，但由此产生的 3-代数因出现新的张量密度生成元而无法闭合，导致出现无限层级的关系，使物理解释变得复杂。

ABSTRACT

It is shown that the ternary Virasoro-Witt algebra of Curtright, Fairlie and Zachos can be constructed by applying the Nambu commutator to the vect(1) realization on scalar densities. This construction is generalized to vect(d), but the corresponding 3-algebra fails to close.

研究动机与目标

• 通过将 Nambu 三重括号应用于 ${\mathfrak{vect}}(1)$ 在标量密度表示上的实现，建立 Virasoro-Witt 3-代数的实现。
• 将此构造推广至 ${\mathfrak{vect}}(d)$，即在 $d$ 维环面上的向量场代数。
• 研究在高维情形下，由此产生的 3-代数结构是否闭合。
• 评估在 $d > 1$ 时，广义 3-代数的物理相关性与结构复杂性。
• 探讨张量密度及 $gl(d)$ 表示在将构造从标量场扩展至更高秩张量场中的作用。

提出的方法

• 将 Nambu 三重括号 $[A,B,C] = ABC + BCA + CAB - BAC - CBA - ACB$ 应用于 ${\mathfrak{vect}}(1)$ 表示中作用于标量密度的算子。
• 使用傅里叶模算子 $E_m = e^{imx}$，$L_m = e^{imx}(-i\partial_x + \lambda m)$，和 $S_m = e^{imx}(-i\partial_x + \lambda m)^2$ 来表示该代数。
• 计算对易子 $[L_m, E_n] = nE_{m+n}$ 和 $[L_m, L_n] = (n-m)L_{m+n}$，以恢复与阿贝尔电流的半直积结构的 Witt 代数。
• 通过 $E(m) = e^{im\cdot x}$，$L_\mu(m) = e^{im\cdot x}(-i\partial_\mu)$，和 $S_{\mu\nu}(m) = e^{im\cdot x}(-i\partial_\mu)(-i\partial_\nu)$ 将算子实现推广至 $d$ 维。
• 计算 Nambu 括号，如 $[L_\mu(m), E(n), E(r)] = (n_\mu - r_\mu)E(m+n+r)$ 和 $[L_\mu(m), L_\nu(n), L_\rho(r)]$，以推导 3-代数结构。
• 通过 $L_\mu(m) = e^{im\cdot x}(-i\partial_\mu + \lambda m_\mu)$ 将构造扩展至权重 $\lambda \neq 0$ 的标量密度，并通过 $gl(d)$-协变矩阵 $T^\mu_\nu$ 扩展至一般张量密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过将 Nambu 对易子应用于 ${\mathfrak{vect}}(1)$ 代数在标量密度上的实现，推导出 Virasoro-Witt 3-代数？
• RQ2 在 $d > 1$ 维情形下，由 ${\mathfrak{vect}}(d)$ 上 Nambu 括号产生的 3-代数结构是否闭合？
• RQ3 参数 $\lambda$ 在所得到的 3-代数的闭包性与结合性中起什么作用？
• RQ4 非零权重 $\lambda$ 的张量密度表示如何影响广义 3-代数的结构？
• RQ5 在高维中引入的无限层级生成元是否具有物理意义，或在结构上可处理？

主要发现

• 成功地通过将 Nambu 对易子应用于 ${\mathfrak{vect}}(1)$ 在标量密度上的表示，重建了 Virasoro-Witt 3-代数，证实了其与文献 [9] 中构造的一致性。
• 在一维情形下，三个 $L_m$ 生成元的 Nambu 括号结果为 $[L_m, L_n, L_r] = (\lambda - \lambda^2)(m-n)(n-r)(r-m)E_{m+n+r}$，与已知的 3-代数结构一致。
• 当推广至 $d$ 维且 $\lambda = 0$ 时，Nambu 括号 $[L_\mu(m), L_\nu(n), L_\rho(r)]$ 产生涉及 $S_{\mu\nu}$ 的项，表明该代数不闭合。
• 在 $LLL$ 括号中出现 $S_{\mu\nu}$ 项，必须引入新的生成元，从而导致更高秩张量算子的无限层级结构。
• 即使在标量密度情形下，该 3-代数在 $d > 1$ 时也无法闭合，且引入更高秩张量密度也无法解决闭包问题。
• 由于其结构复杂性及缺乏有限闭合的代数框架，所得到的无限维非闭合 3-代数的物理相关性仍不明确。