[论文解读] Virtual counts on Quot schemes and the higher rank local DT/PT correspondence

Sjoerd Viktor Beentjes, Andrea T. Ricolfi|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用 14

一句话总结

本文通过证明光滑3-流形 $X$ 上局部自由层 $mathcal{F}$ 的 Quot 算符 $operatorname{Quot}_{X}(mathcal{F},n)$ 具有对称的障碍理论，建立了 Gholampour–Kool 的 Quot 算符函数方程的虚拟提升，从而实现了其虚拟欧拉特征数的计算。此外，本文还将 Toda 的高秩 DT/PT 对应关系推广至以固定斜率稳定层为中心的局部情形，阐明了 Quot 算符函数方程与 DT/PT 墙穿跃公式之间的形式相似性。

ABSTRACT

We show that the Quot scheme $ ext{Quot}_{\mathbf{A}^3}(\mathcal{O}^r,n)$ admits a symmetric obstruction theory, and we compute its virtual Euler characteristic. We extend the calculation to locally free sheaves on smooth $3$-folds, thus refining a special case of a recent Euler characteristic calculation of Gholampour-Kool. We then extend Toda's higher rank DT/PT correspondence on Calabi-Yau $3$-folds to a local version centered at a fixed slope stable sheaf. This generalises (and refines) the local DT/PT correspondence around the cycle of a Cohen-Macaulay curve. Our approach clarifies the relation between Gholampour-Kool's functional equation for Quot schemes, and Toda's higher rank DT/PT correspondence.

研究动机与目标

• 建立局部自由情形下 Gholampour–Kool 的 Quot 算符函数方程的虚拟提升。
• 将 Toda 的高秩 DT/PT 对应关系推广至以固定斜率稳定层为中心的局部版本。
• 阐明 Gholampour–Kool 的 Quot 算符函数方程与 Toda 的高秩 DT/PT 对应关系之间的形式相似性。
• 计算光滑3-流形 $X$ 上局部自由层 $mathcal{F}$ 的 Quot 算符 $operatorname{Quot}_{X}(\mathcal{F},n)$ 的虚拟欧拉特征数。
• 从相对 Quot 算符与 PT 对的几何角度，解释墙穿跃因子的几何意义。

提出的方法

• 通过证明其为临界点集，证明 $operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^3}(\mathcal{O}^r,n)$ 携带对称的完美障碍理论。
• 利用 Behrend 的虚拟欧拉特征数 $widetilde{\chi}(Y) = \sum_k k \cdot \chi(\nu_Y^{-1}(k))$ 定义 Quot 算符上的虚拟计数。
• 构造从相对 Quot 算符到 PT 对模空间的态射 $psi_{\alpha,n}$，并证明其为闭浸入。
• 借助导出对偶与基变换，通过导出三角形将 $mathscr{E}xt^1(\mathcal{F},\mathcal{O}_X)$-商与 PT 对关联。
• 利用赋值准则与 $mathbb{C}$-点上的单射性，证明 $psi_{\alpha,n}$ 的完备性与闭浸入性质。
• 利用同构 $mathbf{R}\mathscr{H}om(E,F) \cong \u001cmathbf{R}\mathscr{H}om(F^\vee,E^\vee)$ 识别 PT 对三角形的导出对偶。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用对称障碍理论，将 Gholampour–Kool 的 Quot 算符函数方程提升为虚拟形式？
• RQ2 光滑3-流形 $X$ 上局部自由层 $mathcal{F}$ 的 $operatorname{Quot}_{X}(\mathcal{F},n)$ 的虚拟欧拉特征数是多少？
• RQ3 Toda 的高秩 DT/PT 对应关系能否在固定斜率稳定层周围实现局部化？
• RQ4 在高秩情形下，相对 Quot 算符与 PT 对模空间之间存在何种几何关系？
• RQ5 Toda 对应关系中的墙穿跃因子如何从 Quot 算符的结构中自然涌现？

主要发现

• 光滑3-流形 $X$ 上局部自由层 $mathcal{F}$（秩为 $r$）的 Quot 算符 $operatorname{Quot}_{X}(\mathcal{F},n)$ 拥有对称的完美障碍理论。
• 虚拟欧拉特征数生成函数为 $\sum_{n \geq 0} \widetilde{\chi}(\operatorname{Quot}_{X}(\mathcal{F},n)) q^n = \mathsf{M}((-1)^r q)^{r \chi(X)}$，其中 $\mathsf{M}(q)$ 为 MacMahon 函数。
• 态射 $\psi_{\alpha,n} : Q(\alpha,n) \to M_{\operatorname{PT}}(r,D,-\beta)$ 是闭浸入，建立了几何双射。
• PT 对模空间 $M_{\operatorname{PT}}(r,D,-\beta)$ 允许通过参数化 $mathscr{E}xt^1(\mathcal{F},\mathcal{O}_X)$-商的相对 Quot 算符进行分层。
• 局部高秩 DT/PT 对应关系被实现为 Gholampour–Kool 函数方程的虚拟提升，其中墙穿跃因子源于 Quot 算符的虚拟结构。
• 该结果将秩一点贡献推广至高秩 DT 理论，提供了 MNOP 猜想的虚拟类比。