[论文解读] Virtual Element Formulation For Finite Strain Elastodynamics

Mertcan Cihan, Aldakheel, F.+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 26被引用 7

一句话总结

本论文提出了一种用于大变形动力学的低阶虚拟元方法（VEM）弱形式，可利用任意多边形和多边形网格实现大变形动力学的高精度模拟。该方法仅通过投影计算质量矩阵，无需稳定化处理，同时采用隐式Newmark时间积分格式，即使在使用线性基函数和质心积分时也能实现高精度。

ABSTRACT

The virtual element method (VEM) can be seen as an extension of the classical finite element method (FEM) based on Galerkin projection. It allows meshes with highly irregular shaped elements, including concave shapes. So far the virtual element method has been applied to various engineering problems such as elasto-plasticity, multiphysics, damage and fracture mechanics. This work focuses on the extension of the virtual element method to efficient modeling of nonlinear elasto-dynamics undergoing large deformations. Within this framework, we employ low-order ansatz functions in two and three dimensions for elements that can have arbitrary polygonal shape. The formulations considered in this contribution are based on minimization of potential function for both the static and the dynamic behavior. Generally the construction of a virtual element is based on a projection part and a stabilization part. While the stiffness matrix needs a suitable stabilization, the mass matrix can be calculated using only the projection part. For the implicit time integration scheme, Newmark-Method is used. To show the performance of the method, various two- and three-dimensional numerical examples in are presented.

研究动机与目标

• 解决虚拟元方法（VEM）在大变形问题中缺乏动态格式的不足。
• 将VEM从静态问题扩展至有限应变弹塑性动力学的动态应用。
• 开发一种稳定且高效的质量矩阵格式，仅依赖投影部分，避免稳定化处理。
• 在1D、2D和3D中实现任意多边形和多边形单元在动态模拟中的应用。
• 通过非线性弹塑性动力学的基准算例，验证该方法的精度与鲁棒性。

提出的方法

• 通过最小化包含应变能、动能和外力功的总势能函数来构建动力学问题。
• 采用Galerkin投影将位移试函数分解为多项式投影部分与余项部分。
• 仅基于试函数的投影部分计算单元质量矩阵，避免稳定化处理。
• 采用Newmark-β方法对运动方程进行隐式时间积分。
• 仅通过基于Wriggers等人[6]的子三角剖分技术对刚度矩阵进行稳定化，该方法在与原始单元具有相同节点的子网格上进行积分。
• 在单元质心处计算质量矩阵积分，证明其足够精确，无需子三角剖分。

实验结果

研究问题

• RQ1 VEM能否有效扩展至使用任意多边形/多面体单元的大变形弹塑性动力学问题？
• RQ2 在VEM的动力学问题中，质量矩阵是否需要稳定化处理，还是可仅通过投影部分计算？
• RQ3 在3D动力学问题中，仅使用质心积分计算质量矩阵时，VEM格式的精度如何？
• RQ4 所提出的VEM格式能否在仅使用线性基函数和最小稳定化处理的情况下，达到与高阶FEM相当的结果？
• RQ5 该方法在捕捉非线性动态响应（如波传播和大变形）方面在3D结构中的表现如何？

主要发现

• 仅基于投影部分计算的质量矩阵可产生高度精确的结果，即使在3D问题中也无需稳定化处理。
• 在使用线性基函数和质心积分的VEM-H2S格式中，仅用256个虚拟单元即可达到参考FEM-H2解（3200个单元）的精度。
• 在3D波传播算例中，VEM-H2S的响应与解析解及FEM-H1结果高度一致，位移随时间变化的误差可忽略不计。
• 在厚梁振动基准算例中，VEM-H1与FEM-H1均随网格加密收敛至参考解，但VEM-H2S因稳定化处理能更准确捕捉弯曲模态，表现出更优的精度。
• 使用具有任意节点数和形状的Voronoi单元可获得精确结果，证实了该方法在复杂非凸网格下的鲁棒性。
• 仅在单元质心处评估质量矩阵积分已足够实现高精度，无需子三角剖分或截面惯性矩计算。