[论文解读] Virtual Element Method for geomechanics on reservoir grids

Odd Andersen, Halvor Møll Nilsen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 8被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种针对复杂储层网格中高度扭曲的多面体单元的鲁棒虚拟元方法（VEM），用于岩土力学模拟。结果表明，基于牵引力的载荷计算方法与改进的稳定化项可显著提升在细长、曲面单元上的性能，从而实现无需重划网格即可在角点网格上获得稳定且精确的解。

ABSTRACT

In this paper we study the use of Virtual Element method for geomechanics. Our emphasis is on applications to reservoir simulations. The physical processes that form the reservoirs, such as sedimentation, erosion and faulting, lead to complex geometrical structures. A minimal representation, with respect to the physical parameters of the system, then naturally leads to general polyhedral grids. Numerical methods which can directly handle this representation will be highly favorable, in particular in the setting of advanced work-flows. The Virtual Element method is a promising candidate to solve the linear elasticity equations on such models. In this paper, we investigate some of the limits of the VEM method when used on reservoir models. First, we demonstrate that care must be taken to make the method robust for highly elongated cells, which is common in these applications, and show the importance of calculating forces in terms of traction on the boundary of the elements for elongated distorted cells. Second, we study the effect of triangulations on the surfaces of curved faces, which also naturally occur in subsurface models. We also demonstrate how a more stable regularization term for reservoir application can be derived.

研究动机与目标

• 在具有高长宽比和曲面的复杂真实储层网格上直接实现精确的岩土力学模拟。
• 解决标准VEM在角点网格中常见的细长扭曲单元上出现的稳定化与载荷计算失效问题。
• 开发一种稳定且精确的VEM格式，确保在具有曲面和复杂几何形状的网格上仍保持精度。
• 证明VEM可直接应用于原始储层网格，无需重划网格或简化，避免因三角剖分或简化导致的精度损失。
• 提供一种与储层模拟工作流程兼容、可实际实现的VEM框架，基于MRST平台构建。

提出的方法

• 采用虚拟元方法（VEM）求解一般多面体网格上的线性弹性方程，包括高长宽比和曲面的单元。
• 基于四边形单元上与有限元法（FEM）精确等价的原理，推导出一种改进的稳定化项，以提升二维情况下的鲁棒性。
• 采用基于离散梯度的载荷项计算方法，基于单元边界上的牵引力，降低对稳定化选择的敏感性。
• 采用基于投影的VEM格式，一致构建局部双线性形式与稳定化项。
• 仅对曲面进行三角剖分以作对比，同时测试原始曲面单元网格，以评估几何近似误差。
• 在MRST框架中，利用解析解和基准模型（sbed与Norne储层）验证结果，实现与FEM及精确解的直接对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 虚拟元方法能否在典型储层角点模型中常见的高度扭曲、高长宽比多面体网格上实现鲁棒性？
• RQ2 在储层模拟中，应用于细长扭曲单元时，稳定化项的选择如何影响VEM的精度？
• RQ3 通过单元边界上的牵引力计算载荷项，是否相比标准体积力公式能提升稳定性和精度？
• RQ4 储层网格模型中的曲面在多大程度上影响VEM解的精度？在实际应用中是否可以安全忽略？
• RQ5 VEM能否在不重划网格或简化的情况下，对原始储层网格实现高精度求解，特别是在具有复杂地质特征的三维场景中？

主要发现

• 标准VEM稳定化项在高度细长的单元上严重失效，即使在简单的二维情形下也导致巨大误差，原因在于双线性形式条件不佳。
• 基于四边形单元上FEM等价关系推导出的改进稳定化项，显著提升了二维高长宽比单元的鲁棒性与精度。
• 基于牵引力的载荷计算方法在二维和三维中均表现鲁棒，对稳定化选择的敏感性极低，适用于存在悬空节点或曲面的复杂网格。
• 与整体解相比，对曲面进行三角剖分引入的误差可忽略不计，原始曲面网格的计算结果与解析解相当。
• VEM在Norne储层模型上实现了高精度，即使在存在复杂断层和曲面柱体的情况下，也证实了其在真实地质网格上的鲁棒性。
• 对于sbed模型，误差分布清晰区分了底部与顶部的额外节点，表明节点布置与几何形状显著影响局部误差，而适当的稳定化与载荷处理可有效缓解该问题。