[论文解读] Virtual Element Methods for general second order elliptic problems on polygonal meshes

L. Beirão da Veiga, F. Brezzi+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 7

一句话总结

本文提出了一种针对具有变系数的一般二阶椭圆问题的新型虚拟元方法（VEM），在多边形网格上利用精确的 $L^2$-投影算子以保持最优收敛性。与以往的VEM不同，该方法未退化为拉普拉斯算子的经典方法，并在包括高度扭曲单元在内的多种多边形网格上，实现了 $L^2$ 和 $H^1$ 范数下鲁棒且最优的 $h$-收敛性。

ABSTRACT

We consider the discretization of a boundary value problem for a general linear second-order elliptic operator with smooth coefficients using the Virtual Element approach. As in [59] the problem is supposed to have a unique solution, but the associated bilinear form is not supposed to be coercive. Contrary to what was previously done for Virtual Element Methods (as for instance in [9]), we use here, in a systematic way, the L^2-projection operators as designed in [1]. In particular, the present method does not reduce to the original Virtual Element Method of [9] for simpler problems as the classical Laplace operator (apart from the lowest order cases). Numerical experiments show the accuracy and the robustness of the method, and they show as well that a simple-minded extension of the method in [9] to the case of variable coefficients produces, in general, sub-optimal results.

研究动机与目标

• 解决将虚拟元方法扩展到具有变系数的一般二阶椭圆问题的挑战，因为先前的方法可能失去最优性。
• 构建一个系统性框架，即使双线性形式不具备强制性，也能保持最优收敛速率。
• 确保在任意多边形网格（包括高度扭曲和非凸单元）上的鲁棒性与准确性。
• 证明对经典VEM的朴素扩展至变系数时，无法保持最优收敛性，尤其是在高阶情形下。
• 通过将VEM解投影到多项式空间上，提供一种可靠的方法来计算内部点的解值。

提出的方法

• 为具有光滑变系数的一般线性二阶椭圆算子建立变分形式。
• 引入一种基于 $L^2$-投影算子（投影到多项式空间）作为计算双线性形式关键组件的稳定化VEM格式。
• 通过组合精确的 $L^2$-投影（对应多项式次数）与稳定化项，定义离散双线性形式 $B_h(\cdot, \cdot)$。
• 利用VEM解的 $L^2$-投影 $\Pi^0_k p_h$ 来评估内部点的逐点误差，包括精确解的最大值点。
• 通过插值与投影误差界建立先验误差估计，证明 $\|p - p_h\|_0 \leq C h^{k+1}(\|p\|_{k+1} + |f|_k)$。
• 通过 $L^2$-投影框架控制一致性和稳定性项，确保方法的一致性与稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 虚拟元方法能否系统性地扩展至具有变系数的一般二阶椭圆问题，同时保持最优收敛性？
• RQ2 在VEM格式中使用 $L^2$-投影算子是否能防止将专为常系数设计的方法扩展至变系数时出现次优收敛？
• RQ3 该方法在高度扭曲或非凸多边形网格上的表现如何，特别是与标准FEM相比？
• RQ4 当解在单元内未显式已知时，VEM解在内部点的精度如何？
• RQ5 对原始VEM（如[9]中所述）进行简单扩展至变系数，能否在高阶方法中保持最优收敛性？

主要发现

• 所提出的VEM在 $L^2$ 和 $H^1$ 范数下均实现了最优 $h$-收敛性，对于多项式次数 $k$，收敛阶数为 $k+1$，数值实验已验证此结果。
• 对于 $k=1$，该方法在所有类型的网格上（包括随机Voronoi、Lloyd-100（CVT）、正方形和凹多边形网格）均表现出最优收敛性。
• 对于 $k=4$，该方法在 $L^2$ 和 $H^1$ 范数下仍保持最优收敛性，而朴素扩展（4.18）则出现显著的收敛阶损失。
• $L^2$-投影将VEM解投影到 $\mathbb{P}_k$ 上，可对内部点（包括精确解的最大值点）提供高精度近似。
• 数值结果证实了方法的鲁棒性：即使在高度扭曲和非凸的多边形单元上，方法性能依然出色，表现出网格形状无关性。
• 该方法在高阶情形下不退化为[9]中原始VEM的拉普拉斯算子形式，表明其为一种更一般且本质不同的公式。