[论文解读] Virtual elements for Maxwell's equations

L. Beirão da Veiga, Franco Dassi+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 41被引用 8

一句话总结

本论文提出了一种基于通用多面体网格的时变麦克斯韦方程组的低阶虚拟元方法，利用节点、边和面虚拟元空间的de Rham序列。该方法在半离散和全离散格式下均实现了最优收敛率，通过在扭曲和多面体网格上的数值实验得到验证，且磁场的散度自由性质在机器精度范围内被精确保持。

ABSTRACT

We present a low order virtual element discretization for time dependent Maxwell's equations, which allow for the use of general polyhedral meshes. Both the semi- and fully-discrete schemes are considered. We derive optimal a priori estimates and validate them on a set of numerical experiments. As pivot results, we discuss some novel inequalities for de Rahm sequences of nodal, edge, and face virtual element spaces.

研究动机与目标

• 开发一种适用于一般多面体网格的时变麦克斯韦方程组的低阶虚拟元离散化方法。
• 将de Rham序列框架扩展至三维中H(curl)和H(div)兼容的虚拟元空间。
• 为半离散和全离散格式建立最优先验误差估计。
• 在扭曲和多面体网格上通过数值实验验证该方法，包括收敛行为以及磁场的无散性质保持。
• 为高阶扩展及具有奇点或磁流体动力学（MHD）问题的应用提供基础。

提出的方法

• 该方法基于三维多面体单元的节点（H1）、边（H(curl)）和面（H(div)）虚拟元空间的de Rham复形构建虚拟元格式。
• 通过构造稳定项以确保离散双线性形式在旋度和散度算子上的一致性和稳定性。
• 半离散格式采用空间VEM逼近，时间方向通过后向欧拉法实现全离散化。
• 该方法依赖于麦克斯韦方程组的混合变分格式，在离散层面保持连续问题的结构。
• 虚拟元空间通过局部投影到多项式子空间构造，自由度通过矩和边界积分定义。
• 利用插值性质和de Rham序列在虚拟元背景下的新颖不等式，推导出先验误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一般多面体网格上构造一种用于时变麦克斯韦方程组的低阶虚拟元方法，并实现最优收敛率？
• RQ2 如何设计虚拟元空间的de Rham序列以在三维中保持H(curl)和H(div)兼容结构？
• RQ3 何种稳定化技术可确保离散变分格式的一致性和稳定性？
• RQ4 该方法是否能以高精度保持磁场感应强度B的无散性质？
• RQ5 在空间与时间同时加密的条件下，该方法的收敛行为如何？

主要发现

• 半离散和全离散虚拟元格式在电场和磁场的L2范数下均实现了最优收敛率，数值实验结果已证实。
• 对于电场E，空间和时间方向的收敛率均约为1.0，误差随h和τ的细化而减小。
• 对于磁场B，空间和时间方向的收敛率也均约为1.0，且在所有网格族中误差均一致减小。
• 离散磁场B_h的散度保持在10^-13至10^-15量级，表明其在机器精度范围内近乎精确地保持了无散性质。
• 对于形状规则的voro网格，系统矩阵的条件数低于随机网格，导致更小的代数误差并更好地保持散度。
• 磁场误差主要由空间离散化主导，时间离散化误差因实验中时间分辨率较粗而较不明显。