[论文解读] Virtual Elements for the Navier-Stokes problem on polygonal meshes

L. Beirão da Veiga, Carlo Lovadina+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 4被引用 8

一句话总结

本文提出了一类用于在一般多边形网格上求解二维Navier-Stokes方程的虚拟元方法（VEM），采用散度自由的离散速度空间并增强多项式自由度以处理非线性对流项。该方法在非一致多边形网格上实现了最优收敛率，并表现出鲁棒性能，包括在耦合Stokes-Darcy问题中的应用，这得益于其点态散度自由的速度场与对角刚度矩阵结构。

ABSTRACT

A family of Virtual Element Methods for the 2D Navier-Stokes equations is proposed and analysed. The schemes provide a discrete velocity field which is point-wise divergence-free. A rigorous error analysis is developed, showing that the methods are stable and optimally convergent. Several numerical tests are presented, confirming the theoretical predictions. A comparison with some mixed finite elements is also performed.

研究动机与目标

• 开发一种在一般多边形网格上求解二维Navier-Stokes方程的符合型、散度自由虚拟元方法。
• 通过引入合适的投影算子和增强的离散速度空间，解决非线性对流项带来的挑战。
• 通过针对VEM框架量身定制的严格误差分析，确保稳定性和最优收敛性。
• 展示该方法在处理复杂网格构型（包括非一致和多面体网格）时的鲁棒性与灵活性。
• 通过数值验证，特别是在独立网格下的耦合Stokes-Darcy流动问题中。

提出的方法

• 该方法采用虚拟元空间表示速度，其自由度确保了离散解的点态散度自由。
• 对流三线性形式通过其反对称变体进行近似，以保持稳定性，尽管投影算子导致反对称性损失。
• 采用基于投影算子的方法处理非线性项，从而在无需显式知道形状函数点值的情况下计算刚度矩阵。
• 压力通过不连续的局部多项式近似，且无需满足单元间连续性要求。
• 该方法利用压力-速度耦合矩阵中的对角结构，实现高效的求解策略，无需静态 condensation。
• 该公式可无缝耦合混合有限元法求解Stokes问题，并适用于具有独立网格的Darcy-Stokes界面问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 虚拟元方法能否被扩展至非线性Navier-Stokes方程，同时在多边形网格上保持速度近似的散度自由性质？
• RQ2 三线性形式的选择（标准形式 vs. 反对称形式）如何影响VEM在Navier-Stokes方程中的稳定性和收敛性？
• RQ3 散度自由性质在小粘性或耦合流动问题中在多大程度上提升了方法的鲁棒性？
• RQ4 VEM框架能否处理带有悬挂节点和子域内独立剖分的非一致多边形网格？
• RQ5 该方法在复杂几何形状和界面问题中是否能保持最优收敛率和精度？

主要发现

• 所提出的VEM在结构化和非结构化多边形网格上的数值测试中，均实现了速度场和压力场的最优收敛率。
• 由于离散速度的点态散度自由特性，速度误差在很大程度上与离散压力解解耦，从而在低粘性区域提升了鲁棒性。
• 该方法在具有独立剖分的网格（例如Darcy区域为三角形，Stokes区域为正方形）上仍保持最优收敛率，表明其在多物理场耦合中的鲁棒性。
• 边界上的通量计算结果以二阶精度收敛至参考解，即使在粗网格下，相对误差也低于1%。
• 压力-速度刚度矩阵中的对角结构使得求解策略更加高效，内部自由度可无需静态缩聚即可消除。
• 在小粘性条件下，该方法在速度精度和鲁棒性方面优于标准混合有限元方法，尤其在静水和Darcy-Stokes问题中表现更优。